運動量保存の法則

質問

運動量保存の法則はある系に外部から力が加わらないかぎり保存されるらしいのですが

たとえば、質量Ｍの玉を地上から高さhの位置から落とした場合に
玉が跳ね返ったあとと、跳ね返る前の運動量は保存されるのでしょうか？
玉には重力が作用していますが、重力は外力とみなされるのでしょうか？

初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

回答No.4

hyoi1108

maru-tuさんやsanoriさんが答えていますので，御参考までに。

＞　玉が跳ね返ったあとと、跳ね返る前の運動量は保存されるのでしょうか？

玉の運動量だけの変化を言うなら，保存されません。
そもそも地面が動かないという前提を入れた時点で，地面には玉を跳ね返すのに必要なだけの力が外部から無限に与えられると
仮定されているので，運動量保存の法則は成り立ちません。
このような前提がよく使われるのは，「玉」が地面（地球）よりきわめて小さいときだけです。
もし，「玉」が「月」ほど大きければ，月が地球にぶつかった時に地球が動かないとして，と仮定したら・・・変でしょう。

＞　玉には重力が作用していますが、重力は外力とみなされるのでしょうか？
先ほどの質問と同様，「玉」の運動だけを考え，地面（地球）の運動を無視していますから，重力は外力になります。
「重力」と言う時には大概，地球の質量や運動を無視しています。そうでないときは，「万有引力」と言うことが多いようです。

なお，No.1の回答の補足の欄での質問「杭うちの前後で運動量保存則が成立する」については，実は成立に条件があり，
外力が働いている以上，一般的には運動量は保存しません。
条件と言うのは，この場合，杭打ち作業で衝突する２つの物体（おもり，杭）に等しく外力が作用していること。杭打ちの前後で外力の状態が変わらないことです。
御質問のケースにおける重力場であれば問題はなく，運動量保存則が成立するでしょう。

回答No.3

maru-tu

1です。

1) 簡単のため1次元で考えます。球が受け取る重力のことをFと書くと、たまの運動方程式は
　ma=F
と書くことができます。作用反作用の法則により、地球の運動方程式は
　MA=-F
となります。符号がポイントです。このそれぞれを運動量と力積の関係に直す(=時間積分する)と
　Δ(mv)=FΔt，Δ(MV)=-FΔt
となります。これより、ここの運動量は保存されない(力積の分だけ変化する)ことがわかります。ところで、両式を辺々くわえると
　Δ(mv+MV)=0
となります。これが運動量保存です。

つまり、内力とは「考えている方程式系で、和が0となるように算入されている力」ということになります。これが「系」という考え方です。

2) くい打ちの件ですが、おもりと杭とが衝突した際にやり取りされる力積Iが重力の力積よりもはるかに大きいことが原因です。運動量と力積の関係を考えると、おもり(質量M)と杭(質量m)について
　Δ(MV)=I+MgΔt，Δ(mv)=-I+mgΔt
となります。相互作用時間Δtが十分短く、Iに比べMgΔtおよびmgΔtが無視できるなら
　Δ(MV)≒I，Δ(mv)≒-I
となり、辺々をくわえることで
　Δ(MV+mv)=0
という運動量保存則が導かれます。

回答No.2

sanori

こんにちは。

＞＞＞
初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

いえ。良い質問です。

＞＞＞
運動量保存の法則はある系に外部から力が加わらないかぎり保存されるらしいのですが

はい。

＞＞＞
たとえば、質量Ｍの玉を地上から高さhの位置から落とした場合に
玉が跳ね返ったあとと、跳ね返る前の運動量は保存されるのでしょうか？

着地する直前と直後とで、運動量が保存されています。
球が地球に衝突することにより、地球が僅かながら弾かれます。
つまり、球の運動量と地球の運動量の合計で考えるわけです。

＞＞＞
玉には重力が作用していますが、重力は外力とみなされるのでしょうか？

はい。外力です。
（以下、余談）
ただし、球が真っ直ぐ落下するとき、球と地球の２体の系で考えると、球だけが一方的に地球に近づくのではなく、僅かながら地球も球に近づきます。つまり、互いに近寄りあいます。
この場合は、実は、運動量が保存されています。
真っ直ぐ引き合う（等加速度直線運動）というところがポイントです。
このほかの運動になると、話がややこしくなります。

補足

返信ありがとうございます。

地球は弾かれないとしています。説明不足ですみません。
また、>>1の方で
＞＞地球と玉の双方を系として扱う場合、重力は内力になる
とかかれているのですが、なぜでしょうか？？

回答No.1

maru-tu

何に着目するか(=系)により答えが変わります。

この場合の「重力」とは「地球と玉との相互作用」です。ですから地球と玉の双方を系として扱う(=双方の動きをともに解析する)のであれば、重力は内力となり、系の全運動量は保存します。

しかし、通常は球の動きにしか興味がなく、地球の動きのことは考慮しません。このとき玉に作用する重力は外力とみなされます。もちろん玉の運動量は保存しません。

何をもって「内」と「外」とに分けるか、系とはどういう考えなのかにも意識を向けるべきかとおもいます。

補足

迅速な回答ありがとうございます。
とても、難しいですね・・・

また、例をだしてわるいのですが
地面からhの高さから質量Ｍのおもり用いて、
地面からh0の高さまで出ている質量mのくいを地面にうちこむさい
杭うちの前後で運動量保存則が成立するようなのですが
質量Ｍのおもりは重力（外力）が働いているため
保存則は成立しないと考えてしまう自分がいるのですが・・・。

なぜなのでしょうか？