ラグランジュの未定係数

質問

カテ違いではないと思うので質問します。
ラグランジュの未定係数法とは、多変数関数の
極値を求めたい時に利用するものだと思います。
そのとき条件g=C(定数)があれば、f-λg≡f~の極値を求めれば良いということになっていますが、これのメリットが釈然としません。また、偏微分するときもあれば、δをとって変分を考える場合もあり、それの違いも
よく分かりません。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

簡単な問題では確かにあまりメリットはありません。

たとえば、x+y=1という直線上で原点に一番近い点を求めるという問題だと、

x+y=1

という拘束条件の下で

f(x,y)=x^2+y^2

を極小にする解を探すことになりますが、

F(x,y)=x^2+y^2 + λ(x+y-1)

という関数を用意してx,yを独立変数として扱う未定定数法も、y=1-xをf(x,y)に代入して

f(x)=x^2+(1-x)^2

の極小を求めてもたいした違いはありません。

しかし、こんなケースはどうでしょう？

これは光学の複屈折の取り扱いで実際に出てくる実例です。
詳しいことを書き出すと長くなるので、意味はわからないかもしれませんが、数式だけ書きます。

複屈折では屈折率楕円体というものがありまして、こういう式であらわされます。

(x/nx)^2+(y/ny)^2+(z/nz)^2=1 （1）

nx,ny,nzは主屈折率というものですが、まあ定数と思ってください。

そして、この楕円体を

a x+b y+c ｚ =0 （2）
(a,b,cは定数）

という平面で切った断面上に出来る楕円の長軸と短軸の方向を求めることを考えます。

この問題は、

(1)、(2)の拘束条件の下に、

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

の極値を求めることになります。

もちろん、上でやったように(1)、(2)からたとえばy,zを消去してxの1変数関数として極値を求めることも可能です。しかし、やる気になるでしょうか？

これに比べれば、ラグランジュの未定定数法のほうがはるかに計算量が少なくて済みます。

＞δをとって変分を考える場合もあり

物理では、実際におこる変化とおきない変化を区別して考えます。

再び光学の話を引き合いに出しますが、光学には最小時間の原理というものがありまして、光線が実際に通過する経路はその経路を通過する時間が最小になっているというものです。

n sinθ=n' sinθ' (3)

という屈折の法則はこの最小時間の原理を満足します。しかし、それを証明しようと思ったら、(3)を満たさないような経路も考えて(3)が極小条件であることを示さなければなりません。しかし、(3)以外の経路を光が実際にとおることはなく、それらは(3)が極小であることを証明するための仮想的な経路に過ぎません。

このような仮想的な変化をあらわすときに変分を使います。

力学では、最少時間ではなく最小作用の原理によって経路が決まりますから、屈折よりもだいぶ問題は複雑ですが同様に考えることができます。

お礼

御回答ありがとうございます。

条件式が2字式になったり、条件式の数自体が増えれば、文字を消去するのは厄介になるということですよね...物理例まで挙げていただき、とても納得いきました。変分についても納得いたしました。

回答No.1

eatern27

2変数関数で考えます。

f(x,y)の極値を求めろ、といわれれば、単に偏微分がゼロ、とすればいいですよね。
g(x,y)=0のような拘束条件がある場合には、この方法は使えません。x,yが独立ではないからです。

しかし、
>f-λg≡f~
とf~(x,y,λ)を定義してやる事によって、
f(x,y)のg(x,y)=0の条件下での極値を求める問題を、f~(x,y,λ)の極値を求める問題に帰着できます。

つまり、ラグランジュの未定係数法を使うと、x,y,λを独立変数と思う事ができるわけですね。(拘束条件のせいで、本当はx,yは独立ではないのに！)

お礼

御回答ありがとうございます。
確かに独立変数ですね。ただ、それなら
偏微分して=0と置いた式も一個増えると思いますが、
文字を消去するよりは楽なのでしょうね.