微分法 曲線の接点

質問

解法の手順が分からないので教えて下さいm(_ _)m

曲線ｙ＝Ｘ ＾３－３ａＸ＋１６がｙ＝３Ｘに接する時の、接点の座標と、ａの値を求めよ。

答えよりも、解答までの道筋を教えていただけるとありがたいです。

累乗や、Ｘ（エックス）が分かりづらくて申し訳ないです。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

f(x)=x^3-3ax+16 とおく.
f'(x)=3x^2-3a

曲線y=f(x)上の接点(t,t^3-3at+16)での接線は
y-f(t)=f'(t)(x-t)
⇔y=f'(t)(x-t)+f(t)
⇔y=(3t^2-3a)(x-t)+t^3-3at+16
⇔y=(3t^2-3a)x-2t^3+16

この接線が直線y=3x と一致する条件は，両者の傾きと切片が一致することで
3t^2-3a=3　かつ　-2t^3+16=0
⇔t^2-a=1 かつ　t^3=8

第２式より，実数解t=2のみ．
このとき，第１式より a=3
また，接点の座標は(2,6)

お礼

分かりやすい解答有難う御座いました。
これを機に自分で考えるようにしたいです。

回答No.6

ticky

まず、f(x)=x^3-3ax+16 から g(x)=3x を引き、それを h(x)とします。
h(x)=x^3-3(a+1)x+16
y=f(x) と y=g(x) が接する必要十分条件は、h(x) が x 軸と接する必要十分条件に等しく、h(x)=f(x)-g(x)=0 かつ h'(x)=0 です。
つぎに h(x) を微分して、h'(x)=3x^2-3(a+1)=3{x^2-(a+1)}
これより、h(x) は x=±√(a+1) で h'(x)=0 となります(すなわち、極値をとる)。
………このあと、x=±√(a+1) を h(x) に代入して、h(x)=0 となるような a を求めても良いのですが、とても面倒。ですので、別の方法を使います。
一般にある x の関数 f(x) が x=a で x 軸に接するとき、f(x) は (x-a)^2 で割り切れます。ですので、この問題の場合は h(x) が {x±√(a+1)}^2 割り切れるような a を求めます。
実際に割ってみると、
h(x)= - {-x±√(a+1)}{x±√(a+1)}^2+{16±2(a+1)^(3/2)}となり、
16±2(a+1)^(3/2)=0 となる a は、
<=> -16=-2(a+1)^(3/2)（-16 が負であるから±の+が消える）
<=> -8=-(a+1)^(3/2)
<=> 64=(a+1)^3
<=> 4=a+1
<=> a=3
h(x) に x= ± √(a+1)= ±2、を代入してみると、x=2 だけがあてはまり、y=3x=6 となります。
これでもしわからなければ聞いてください。

お礼

√が出てきているせいか、ちょっと高度な解法になっている気がします。なかなか簡単に思いつかないですよね。解答有難う御座いました。

回答No.5

oshiete_goo

ご質問が『微分法』という話だったので, その方針の解法を先にマスターすることをお薦めしますが, 比較のため, そろそろ違う方針の解法もいかがでしょうか.

基本方針は, 2つの整関数 f(x), g(x)があるとき, 2曲線y=f(x), y=g(x) が接する条件は, 『整方程式 f(x)-g(x)=0 が 重解x=α をもつ(αは定数)』⇔ (因数定理より)『整関数 f(x)-g(x) が (x-α)^2 で割り切れる(αは定数)』です.
要するに, 連立方程式を解いたとき, xの意味で重解(正確には, 少なくとも2重解で, 例えば3重解でも良い.) をもつことが条件です．

[別解]
f(x)=x^3-3ax+16 とすると,
3次関数 y=f(x) と 直線y=3x のグラフが接する条件は, f(x)-3x は3次の係数が1の3次関数より,
f(x)-3x=(x-α)^2・(x-β) ・・・(1)
となる実数の定数α,βが存在することで,
(1)⇔x^3-3(a+1)x+16=(x-α)^2・(x-β)
これはxの恒等式なので, 係数比較により

x^2の係数 0=－2α-β ・・・(2)
xの係数 -3(a+1)=α^2+2αβ ・・・(3)
定数項 16=-α^2β ・・・(4)

(2),(3),(4)を連立して解く．
(2)よりβ=-2α　これを(4)に代入して　16=2α^3　⇔　α=2　(∵αは実数)
すると　β=-4 で，これらを(3)に代入して
-3(a+1)=4-16=-12 ⇔　a=3
接点はy=3x上で，x座標がα=2より，接点の座標は　(2,6)

[補足]
今のような3次関数だと，あまり有難味が感じられないかも知れませんが，4次関数のグラフの２重接線の話などになると，この解法はかなり有効です．余力があれば研究に値します．

お礼

２度も解答有難う御座います！本当にいろんな解きかたがあって興味深いですね。

回答No.4

kony0

私なら、求める接点のｘ座標をｔとおいて、
t^3 - 3at + 16 = 3t
3t^2 - 3a = 3
の連立方程式を解きます。

どっからこの式が出てきたか、解釈してみてください。（たまには「式」から「考え方」を読み取るってのもよい訓練になると思います^^）

#1さんの解法とは違う立式ですが、この式を立てた方針も、きっと「基本中の基本」の考え方の１つかと思います。

お礼

やはり解き方にも人それぞれあるんですね。勉強になりました。

回答No.3

kinojun3

こんにちは。ちょっと趣旨が違うので迷いましたが、
この手の問題に関して、かなりいい本があるので
紹介しておきます。

この微積は、(原則)(実戦)ともにすばらしくわかります。

参考URL：

http://www.chukei.co.jp/cgi-bin/books/category.pl?category=32

お礼

有難う御座いました。問題を解く際に一冊欲しいですね。

回答No.2

may-may-jp

接線というのがどんな線か考えると、分かりやすくなります。

求める点における接線が同じ式になるように、と解きます。

お礼

なるほど！解き方のコツですね。解答有難う御座いました。