【数学の問題】※曲線と直線

質問

ｋがk≠√2を満たす定数であるとき、

x^2+y^2-１+k(x-ｙ-√2)=0……(1)

はｋの値にかかわらず、定数Aを通る円を表す。

このとき、定数Aの座標を求めよ。

また、円(1)と円(x-1)^2+（ｙ-1)^2=9が共有点をただ１つもち、

ｋ>0であるとき、ｋの値を求めよ。

学校の教材なのですが、
解答しか載っておらず、解けなかったので
解法付きでお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x^2+y^2-１+k(x-ｙ-√2)=0……(1)
(1)がkの如何に関わらず定点Aを通るということは,kについての恒等式と
考えることができる。即ち、
　x^2+y^2-１=0…(1)　かつ　　x-y-√2=0…(2)
が成り立つ。この３つの方程式を同時に満たす(x,y)が定点Aの座標が得られる。
(1)、(2)の連立方程式を解けば(x,y)=(√2/2,√2/2)…(3)
(3)が定点Aの座標である。

(1)を変形すると
　{x+(k/2)}^2+{y-(k/2)}^2={1+(k/√2)}^2 …(4)
これは中心(-k/2,k/2),半径|1+(k/√2)|の円である。
また
中心(1,1)半径3の円
　(x-1)^2+（ｙ-1)^2=9
が(4)と共有点をただ１つもつ条件は
　3=|1+(k/√2)|+√{(1-(k/2))^2+(1+(k/2))^2}
これをkについて解くと
　k=1/√2>0, k=-(7/4)√2<0
添付図の青線の円がk>0の場合、水色線の円がk<0の場合であるが、
題意によりk>0なので　k=1/√2
なお、この時の接点座標は(-(2+√2)/2,-(2-√2)/2)となります。

回答No.3

mister_moonlight

＞また、円(1)と円(x-1)^2+（ｙ-1)^2=9が共有点をただ１つもち、ｋ>0であるとき、ｋの値を求めよ。

円(1)は、(x+k/2)＾2＋(y-k/2)＾2＝{(k+√2)/√2}＾2
円と円の共有点が1個ということは、2つの円が外接、または、内接する時だから、半径の和か差が2円の中心間の距離に等しい。
従って、｜3-(k+√2)/√2｜＝｜k-2｜/√2　となるから、ｋ>0に注意して　これを解くだけ。
2√2-k＝±{k-2}だから、k＝1＋√2.

回答No.1

gohtraw

（１）の式を変形すると
（ｘ＋ｋ／２）＾２＋（ｙ－ｋ／２）＾２＝ｋ＾２／２＋ｋ√２＋１
となります。定点Ａを（ｘ、ｙ）とすると、Ａについてはｋの値によらずこの式が成り立つので、
ｋ＝２を代入すると
（ｘ＋１）＾２＋（ｙ－１）＾２＝３＋２√２　・・・（あ）
ｋ＝－２を代入すると
（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋１）＾２＝３－２√２　・・・（い）
（あ）から（い）を引くと
４ｘ－４ｙ＝４√２　・・・（う）
また、ｋ＝０を代入すると
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１　・・・（え）
（う）と（え）でｘ、ｙが求められます。

円（１）は中心が（－ｋ／２、ｋ／２）、半径が√２（ｋ＋√２）／２の円です。もう一つの円は中心が（１，１）、半径が３の円です。二つの円の中心の距離が３＋√２（ｋ＋√２）／２になればいいので
（１＋ｋ／２）＾２＋（１－ｋ／２）＾２＝（３＋√２（ｋ＋√２）／２）＾２
としてやればｋの値が出ます。