tan 20 tan 30 tan 40 = tan 10

質問

tan 20 tan 30 tan 40 = tan 10
単位は「度」です。

なるべく簡単な、図形的な考察に基づいた、背景が理解できる証明を教えていただきたいです。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>tan 20 tan 30 tan 40 = tan 10

説明の鍵は、tan^2(30度)=1/3 にあります。

(1) 三倍角公式
　　tan(3a)=tan(a)*{3-tan^2(a)}/{1-3*tan^2(a)}
(2) 加法公式
　　tan(30度±a)={1-3*tan^2(a)}/{3-tan^2(a)}
この二つから、
　　tan(30度-a)*tan(3a)*tan(30度+a)=tan(a)
が成立する。

「簡単な、図形的な考察に基づいた、背景が理解できる証明」は手に負えません。
口上だけ。
おあとがよろしいようで。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。tan 30 度=1/√3
のみに成立する特殊な事情かもしれないですね。

回答No.4

noname#101087

またまた&また。
(2) 加法公式
　　tan(30度+a)={1+sqrt(3)*tan(a)}/{sqrt(3)-tan(a)}
　　tan(30度-a)={1-sqrt(3)*tan(a)}/{sqrt(3)+tan(a)}

回答No.3

noname#101087

またまた。
(2) 加法公式
　　tan(30度+a)={1+sqrt(3)*tan^2(a)}/{sqrt(3)-tan^2(a)}
　　tan(30度-a)={1-sqrt(3)*tan^2(a)}/{sqrt(3)+tan^2(a)}

回答No.2

noname#101087

誤記訂正。
(2) 加法公式
　　tan(30度+a)={1+3*tan^2(a)}/{3-tan^2(a)}
　　tan(30度-a)={1-3*tan^2(a)}/{3+tan^2(a)}