紐の端が２つである理由

質問

うどんを食べる時に必ずこの問いが頭をよぎります。紐の端が２つなのはなぜなんですか？また、端が１つだけ、または３つ以上ある紐というのは存在しますか？
　紐のような一次元的なものの上で二点を決めると、一つは始点、もう一つは終点になり、端は２つ存在する、ということは頭ではわかっているのですが・・・これ以外の説明の仕方はあるのでしょうか？（それとも、自明なことなのでしょうか？）
　あとは、ベンツのマークのように編んである紐では３つ端がありますが、これは紐と言えないような気がして・・・また、無限に延びた紐では端が１つしかないのでは、と思うのですが、イマイチ、心の底から納得できないんです。
　何がわからないのかが不明確なため、このカテゴリーで質問するのが妥当かもわからず、また幼稚園児のような質問の仕方で申し訳ないのですが、どなたかに助けていただけると嬉しいです。当方、高校までの数学なら何とかわかります。よろしくお願いします。

回答No.3

prome · ベストアンサー

First_Noelさんがおっしゃるように位相幾何学（トポロジー）の問題ですね。
トポロジーの用語で言うと、「境界のあるコンパクトな１次元多様体は、
２点から成る境界を持つ」ということです。

１次元多様体とは、簡単に言えば線。直線または曲線ですが、トポロジーの
世界では"まっすぐ"と"曲がっている"の違いを無視するので、直線も曲線も
同じものです。
境界とは簡単にいうと、端っこ。面の端っこは線で、線の端っこは点。
コンパクトとは線でいえば有限の長さを持つということ。
ことばの定義は簡単にはこんな感じです。

下記URLから「トポロジーの視点」を見ると、１次元多様体は
開区間、閉区間、半開区間、円周の４つということです。
境界をもつコンパクトなものはこのうち閉区間ですから、
[0,1]={x|0≦x≦1}と同じ。つまり端っこは{0,1}の２点から成るので、
Yo-Na-Cさんがおっしゃる通り、端は２つです。

Yo-Na-Cさんの考え方が鋭いと思うのは、ベンツのマークは紐とは言えない
といわれる点。これは１次元多様体ではありません。真ん中の部分で分岐が
あるからです。また無限に伸びた紐はコンパクトではありません。

きっちりと「証明」となると、うまく言えませんが、大体こんな感じで
示されるのだと思います。

トポロジーを勉強したことがあるので「経験者」、証明していないので
「自信なし」としておきます。

参考URL：

http://www.math.keio.ac.jp/edu/bookshelf/bookshelf.htm

お礼

とても詳しいご回答ありがとうございます。
紐は「境界のあるコンパクトな１次元多様体」であり、それらは「２点から成る境界を持つ」わけですね。この説明でしたら納得できます。
ところで新たな疑問が生じてしまいました。言葉の感じから推測するのですが、開区間は境界を持たず、半開区間は１つの境界を持つのでしょうか？またこの推論が正しいとしたら、円周と開区間はどちらも境界を持ちませんが、そこには何か違いはあるのでしょうか？この書き込みにお気づきになったらまたお教えいただけるとうれしいです。
premeさんのお陰で位相幾何学の独特な考え方に触れることができたように思います。難しいでしょうが、参考に挙げていただいたURLも読んでみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.6

prome

Yo-Na-Cさんは数学の素養をお持ちのようで、話が早くすんで私としては楽です(^^;)。
さて疑問点ですが、

> 開区間は境界を持たず、半開区間は１つの境界を持つのでしょうか？

その通りです。開区間は(a,b)={x | a < x < b} ですから、境界を持ちません。
半開区間は、(a,b]={x | a < x ≦ b} または [a,b)={x | a ≦ x < b} ですから、
境界はともに1点で、それぞれ点b、点aです。

> 円周と開区間はどちらも境界を持ちませんが、そこには何か違いはあるのでしょうか？

１次元多様体は連結（つながっているかどうか）という概念で区別できます。
専門的な用語抜きで書きます。円周と開区間が同じものと仮定すると、
それぞれから１点を除いたものも同じ"形"をしているはずです。
ところが、円周から１点を除いたものは連結（つながっている）ですが、
開区間からどの１点を除いても連結ではありません（つながっていない。
専門的には２つの連結成分から成るといいます）。
これは矛盾なので、したがって円周と開区間は同じものではないといえます。

これが２次元多様体になると連結という概念では分類できません。
ホモロジー群とか基本群などの理論を使えば分類可能です。
３次元以上ではホモロジー群や基本群で区別できない図形（空間）が存在します。
３次元以上の多様体は未解決な問題が多々あり、トポロジスト（位相幾何学者）の
研究テーマにもなっています。

お礼

再びのご回答、ありがとうございます。promeさんのご説明で、円周と開区間の違いもバッチリ理解できました。
　>Yo-Na-Cさんは数学の素養をお持ちのようで、話が早くすんで私としては楽です(^^;)。 　　とお褒めいただいたにもかかわらず、お礼が遅れてしまって申し訳ありません。今までの間、職場の人間にも話を振ってみたりして色々と考えていました。（人によって色々な反応があって面白かったです）
　何はともあれ、これで安心してうどんを食べられます。本当にありがとうございました。

回答No.5

nozomi500

「始点」があって、片方が無限にのびているのを「半直線」といいましたが、
「紐」というのは定義が何なんでしょう。
数学的に無限に伸びる（直線や曲線）のは「紐」なんでしょうか？

お礼

nozomi500さんありがとうございます。
　「紐」の定義は、実世界において(ほぼ)ある１方向にのみ拡がりを持つものと理解しています(うどんやロープなど、材質の違いは無視します)。このような定義を持つ物を数学で表した時、実世界の紐の持つ「始点と終点という２つの端を持つ」という性質が常に成り立つのかどうか？というのが私の質問です。
　数学的に無限に伸びるのが「紐」か、という問いには、実世界ではそのような紐を見たことがないのでわからない、ということになると思います。ただし、無限に伸びる１次元のものを「紐状」、２次元のものを「シート状」などと(わかりやすく表現する目的で)言うことはできると思うのですが、いかがでしょうか。

回答No.4

ADEMU

端のない世界、つまり円などの一箇所を切断すると必ず２つの切り口が存在します。つまり、どこを切断しても必ず２の倍数になるから端は偶数になるのでは。
変な話、うどんの片方が裂けて漢字の「人」みたいになったらどうなんでしょうかね。
始点があってもう一方が無限というのはずるい考えですね。四次元の話になってしまいますよ。

お礼

ADEMUさん、ご回答ありがとうございます。
なるほど、円の一カ所を切断すると切り口が２つできますね。他の方の回答を引用して申し訳ありませんが、ここがpromeさんの書かれた開区間と円周との違いなのかも知れないと思いました。
ところで、片方が無限になるとなぜ四次元になるのでしょうか？もしこの書き込みをご覧になったらお教えいただけるとうれしいです。
ありがとうございました。

回答No.2

First_Noel

その辺りは「位相幾何学」として研究されているのではないかと思います．
http://www.wcsnet.or.jp/~miyaguti/ntmebi.htm

ブルーバックスか何か，簡単なところの本もありますが，
私は大学時代に挫折しました．．

参考URL：

http://www.wcsnet.or.jp/~miyaguti/ntmebi.htm

お礼

ご回答、ありがとうございます。
位相幾何学という分野があるのですか・・・初めて聞きました。いわゆる問題に答える形式の数学以外はまるで哲学のようで、苦手意識を持っているのですが、この機会に克服を試みてみようかと思います。敵の姿が見えたのは大きな前進です。ありがとうございました。

回答No.1

ruru_20000

面白い質問ですね。非常にユニークです。

　数学は詳しくないのですが、ひもの定義自体が「端が２つある」だからじゃないでしょうか。

お礼

早速のご解答、ありがとうございました。
紐の定義は、どちらかといえば「縄状のもの」ではないでしょうか？身の回りの紐には端が２つあるので、この事実は自明であるというのがruru20000さんのお考えなのですね。参考になりました。