(続)Jordan開曲線と閉曲線の交点で始点に最近

質問

宜しくお願い致します。

Cは複素数体,D⊂Cを開領域,Γ⊂DをJordan閉集合,更にI(Γ),O(Γ)をΓの内部,外部を表すものとする。
さて,
q∈I(Γ),p∈O(Γ)∩Dを結ぶJordan開曲線L(L:[0,1]→D;L(0)=pが始点,L(1)=qが終点)が存在する。この時,
min L^{-1}(Γ∩L([0,1])) ∈ [0,1]
が存在する事を示せ。つまり,L([0,1])とΓとの交点の中で一番pに近いものが在る。

を下記のようにして示しました。これで大丈夫でしょうか?

L([0,1])∩Γが有限集合の時は自明。
無限集合(可算集合)の場合,
もし, 任意のk∈Nに対してL([0,1/2^k])∩Γ≠φなら
Γ⊃∩_{k∈N}({z∈C;|z-p|≦1/2^k}∩L([0,1/2^k])∩Γ)={p}となる。
この時,p∈Γでp∈O(Γ)∩Dという仮定に反する。 (終)

回答No.1

jcpmutura

p∈O(Γ)∩D…(1)

「もし, 任意のk∈Nに対してL([0,1/2^k])∩Γ≠φなら」…(2)
と仮定して

Γ⊃∩_{k∈N}({z∈C;|z-p|≦1/2^k}∩L([0,1/2^k])∩Γ)={p}となる。

「この時,p∈Γでp∈O(Γ)∩Dという仮定に反する。」
の仮定は(2)の仮定でなく(1)の仮定なので
ここで (終)にしてはいけません。
(2)を仮定して矛盾がおきたのだから
(2)を否定して
「L([0,1/2^k])∩Γ=φとなるような自然数k∈Nがある」
とすべきですが
これではL^{-1}(Γ∩L([0,1]))が最小値を持つといってはいません

L^{-1}(Γ∩L([0,1]))⊂[0,1]
だから
t∈L^{-1}(Γ∩L([0,1]))→0≦t≦1
だから
L^{-1}(Γ∩L([0,1]))
は有界集合

Γは閉集合

コンパクト集合の連続写像の像はコンパクトだから
L([0,1])はコンパクトだから
L([0,1])も閉集合

閉集合と閉集合の共通部分は閉集合だから
Γ∩L([0,1])も閉集合

M=L^{-1}(Γ∩L([0,1]))
はRの有界な部分集合だから上限および下限が存在する
M
はRの閉部分集合だから
上限および下限はMに属さなければならないから
上限は最大値
下限は最小値となる

min{L^{-1}(Γ∩L([0,1]))}が存在する

お礼

ご回答誠に有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。