双曲線の式

質問

双曲線の標準形は，x^2/a^2-y^2/b^2=1ですが，
式y=ax/(b+x)も双曲線と聞きました。
これは，標準形からどのように導けばよいのでしょうか？
また，どのような特徴（標準形でいう，長軸や焦点）があるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞標準形からどのように導けばよいのでしょうか？

＞式y=ax/(b+x)
を変形しますと、
　　ｙ－ａ＝－ａｂ／（ｘ＋ｂ）　　・・・・・☆
となりますので、漸近線がｘ＝－ｂ、ｙ＝ａで中心が(ａ、－ｂ）の直交双曲線であることが分かります。
　したがって、標準形から導くときは、直交双曲線の標準形から
　　X^2/A^2-Y^2/A^2＝１
　⇔X^2-Y^2＝A^2　　　・・・・・・・・・（Ａ）
から、原点を中心に－４５°回転させてから、
　　X'＝Xcos45°-Ysin45°　＝(X-Y)/√2
　　Y'＝Xsin45°+Ycos45°　＝(X+Y)/√2
これをさらに、中心が (a,-b) となるように、ｘ軸方向に＋ａ、ｙ軸方向に－ｂ平行移動させると、
　　x＝X'-a, y＝Y'+b
求める放物線の形（式☆）が得られることと思います。
　試しに計算してみてください。

＞どのような特徴（標準形でいう，長軸や焦点）があるのでしょうか？

　双曲線の場合には主軸はありますが、長軸はありません。（長軸・短軸があるのは楕円の場合です。）
　式y=ax/(b+x)で、a,b>0　であれば、グラフはｘｙ平面の右下と左上にしかありませんので、ｙ＝－ｘ＋Ｃ　という直線上に主軸があることが分かることでしょう。（標準形への式変形で確認してみてください。）
　また、焦点は双曲線の場合もあります。
　直角双曲線の標準形（式（Ａ））で、焦点は(A,0),(-A,0)にありますので、標準形への式変形でＡが何に対応するか（Ａをａとｂだけで表す）が分かれば、その焦点の座標を、今度は逆に、ｘ軸方向に－ａ、ｙ軸方向に＋ｂ平行移動させた後、原点を中心に＋４５°回転されたところに、y=ax/(b+x)　の焦点があることが分かることと思います。（計算で確認してみてください。）

お礼

有難うございます。
座標変換がポイントだとは気づきませんでした。
1ヶ所わからないのは，「標準形（式（Ａ））で、焦点は(A,0),(-A,0)」
というところです。
双曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1の焦点は，((a^2+b^2)^0.5,0)，(-(a^2+b^2)^0.5,0)
ですから，((2A^2)^0.5,0),(-(2A^2)^0.5,0)ではないでしょうか？
何か私の勘違いしていますでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland

＃2です。
　お礼をありがとうございます。

＞1ヶ所わからないのは，「標準形（式（Ａ））で、焦点は(A,0),(-A,0)」
＞というところです。
＞双曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1の焦点は，((a^2+b^2)^0.5,0)，(-(＞a^2+b^2)^0.5,0)
＞ですから，((2A^2)^0.5,0),(-(2A^2)^0.5,0)ではないでしょうか？

　ご指摘の通りです。
　間違って、頂点の座標を書いてしまいました。すみません。
　焦点の座標は、質問者さんのお考えどおりです。

お礼

早速ご回答有難うございます。
理解することができました。

回答No.1

kabaokaba

>これは，標準形からどのように導けばよいのでしょうか？

45度の回転と平行移動（漸近線の交点を原点にする）をします．
焦点なども回転・平行移動させればでてきますが
一般には綺麗にはなりません．

>式y=ax/(b+x)も双曲線と聞きました。
一般には
y=(ax+b)/(cx+b) (cは0ではない）
という形でしょう．
これは直角双曲線の特別なケースで
漸近線がx軸，y軸と平行になるものです．
「標準形」の方はこのような漸近線が両方とも
軸に平行になるものは表現できません．

というか・・・
y=(ax+b)/(cx+b)の方が普通はなじみがあるはずです．
小学校・中学校・高校（数Ｃ（かな？）以外）では
ほとんどこっちの式でしょう．

お礼

有難うございます。
はるか昔に習った覚えがあるかなといった感じです。