数学教えて下さい

質問

大学の過去問を解いていて分からない問題がありました。数学の得意な方、高校３年生でも解けるやり方で教えて下さい。お願いします。　
　階段を上るのに、一度に１段から３段まで上ってよいことにする。このとき、ｎ段の階段を上る方法の総数をＡｎとする。
（1）Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4を求めよ。
（2）ｎが4以上のとき、Ａｎ，Ａｎ-1,Ａn-2，Ａn-3　の間　　の関係式を作れ。
（3）Ａ8を求めよ。　
答えは（1）順に1,2,4,7　（2）Ａｎ=Ａn-1+Ａn-2+Ａn-3　（3）81

回答No.1

TK0318 · ベストアンサー

登り方を（　）であらわします。
例えば（１，２，３）なら順に１段、２段、３段登るという意味です。

（１）

１段目に登る方法は（１）のみでＡ１＝１
２段目に登る方法は（１，１）と（２）の２通り。
３段目に登る方法は１段ずつ登る方法（１，１，１）、１段と２段登る方法（１，２）（２，１）、一気に３段上る方法（３）の４通り。
４段目は１段ずつ登る方法（１，１，１，１）、１段を２回と２段を１回の方法（１，１，２）（１，２，１）（２，１，１）、２段を２回の方法（２，２）、３段を１回と１段を１回の方法（１，３）（３，１）の計７通り。

（２）
ｎ段目に登る方法は（ｎ－３）段目から３段上がるか（ｎ－２）段目から２段上がるか（ｎ－１）段目から１段上がるかの３通りしかありません。
よって
Ａｎ=Ａn-1+Ａn-2+Ａn-3　

（３）
計算のみ
Ａ４＝７
Ａ５＝２＋４＋７＝１３
Ａ６＝４＋７＋１３＝２４
Ａ７＝７＋１３＋２４＝４４
Ａ８＝１３＋２４＋４４＝８１

お礼

とても早く回答していただき、ありがとうございます。詳しく書かれていて、分かりやすかったです。本当にありがとうございました。

回答No.3

good777

No1で
（２）
ｎ段目に登る方法は（ｎ－３）段目から３段上がるか（ｎ－２）段目から２段上がるか（ｎ－１）段目から１段上がるかの３通りしかありません。
よって
Ａｎ=Ａn-1+Ａn-2+Ａn-3　

の1行目
（2）
ｎ段目に登る方法は（ｎ－３）段目から1度に３段上がるか（ｎ－２）段目から1度に２段上がるか（ｎ－１）段目から１段上がるかの３通りしかありません。
よって
Ａｎ=Ａn-1+Ａn-2+Ａn-3　
とする方がいいでしょうね。

No2　
最初に、一度に１段から３段まで上る場合で分けるか、
最後に、一度に１段から３段まで上る場合で分けるか、
ということで、まあ、どちらでも同じことですね。

蛇足でした。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

(2)についての別解
全部でn段昇るのに，
1)初めに1段昇ると，あとn-1段昇る昇り方は An-1 通り．
2)初めに2段昇ると，あとn-2段昇る昇り方は An-2 通り．
3)初めに3段昇ると，あとn-3段昇る昇り方は An-3 通り．
これらは背反で同時に起こらないので，全体の昇り方の総数Anは
これらの場合の数の和で
An=An-1+An-2+An-3
となる．

お礼

別解ありがとうございました。