数学の問題です。わかる方教えてください。

質問

an＋1-anの漸化式です。
(1)
a1=1 an＋１=an＋4nで定義される一般項anを求めよ。

(2)
ｎが4以上の自然数の時2n＞3nの不等式を証明せよ。

以上(1)・(2)のとき方を教えていただきたいのです。
よろしくお願いします。

回答No.5

NemurinekoNya · ベストアンサー

(2)の問題は、
n≧4のとき、2^n > 3nであることを証明しなさい、ですかね。

これは、数学的帰納法を使って証明するんじゃないのかな。

n = 4のとき
2^4=16 > 3×4 = 12なので、
　2^n > 3n
n = kの時（k≧4）、
　2^k > 3k
と仮定する。
n = k+1の時、
　2^(k+1) = 2・2^k > 2・(3k) = 6k
で、これと3(k+1)との大小が問題になる。
　6k - 3(k+1) = 3(k-1) > 0
よって、6k > 3(k+1)
なので、
　2^(k+1) > 3(k+1)
よって、
2^n > 3nは証明された。

で、
（１）と（２）ともに、数学的帰納法を使う練習問題なのではないでしょうか。

であるとするならば、

（１）は、漸化式の予想をした後に、
n=1
a_n = 1 + 2×1×(1-1) = 1
n=k
　a_k = 1 + 2k(k-1)
と仮定する。
n = k+1のとき
　a_(k+1) = a_k + 4k = 1 + 2k(k-1) + 4k = 1 + 2k(k+1)
よって、証明された。

となります。

回答No.8

Tacosan

(2) を 2^n > 3n と妄想すると
・n=4 は直接代入
・n≧5 は二項定理
とすれば帰納法を回さなくってもいい.

回答No.7

NemurinekoNya

あっ、いけない。
NO３の一ヶ所、間違っています。

【誤】a_(n+1) - a1 = Σa_k
【正】a_(n+1) - a1 = Σb_k

ですね。
で、この場合は
　b_k = 4k

回答No.6

alice_44

2^n > 3n　←それは酷い。

そうだとすると、(1) は、
a(n+1) - a(n) = 4n なんだろうか、
a(n+1) - a(n) = 4^n なんだろうか？

a(n+1) - a(n) = 4^n だとすれば、
a(n) = a(1) + Σ[k=1…n-1] a(k+1) - a(k)
= 1 + Σ[k=1…n-1] 4^k
= Σ[k=0…n-1] 4^k
= 1・(1 - 4^(n+1))/(1 - 4)
= (1/3)(4^(n+1) - 1).

等比数列の和の公式も、
知っておかねばならないものの一つ。
参考→ http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/touhisum/touhisum.htm

回答No.4

alice_44

質問を読むのに、超能力が要りすぎ！
どんな問題なのか、判りません。

(2)
2n>3n では、成り立たないし、
2のn乗>3のn乗 の書き損ねだとしても、成り立たない。
n≧4 なら成り立つような解釈を、思いつかないよ。

(1)
上記との絡みで、微妙。
「漸化式です」と書いてあることだし、
a(1)=1, a(n+1)=a(n)+4n という問題
だということは、汲めばいいように思うのだけれど、

右辺の 4n が、素直に 4 掛ける n なのかどうか…
この 4n が (2) の 2n や 3n と同じものを意図
しているのだとしたら、こちらの問題も
何を書いているのか判らないことになる。

a(n+1) - a(n) = 4n から
a(n) = a(1) + Σ[k=1…n-1] a(k+1) - a(k)
= 1 + Σ[k=1…n-1] 4k.
ここまでは、4n の解釈によらないが、その先、

4n が単に 4 掛ける n であれば、基本公式どおり、
a(n) = 1 + 4 Σ[k=1…n-1] k
= 1 + 4 (n-1)n/2
= 2n^2 - 2n + 1.

(Σ[k=1…m] k = m(m+1)/2 は、必ず知っておかねばならない。
参考→ http://evariste.s21.xrea.com/Sequence1.htm)

問題の式の意味次第だな。

回答No.3

NemurinekoNya

（１）a_(n+1) - a_(n) = 4n
難しく考えることはありませんよ。
a2 - a1 = 4×1
a3 - a2 = 4×2
・・・・・・
・・・・・
a_(n-1) - a_(n-2) = 4×(n-2)
a_n - a_(n-1) = 4×(n-1)
これをすべて足せば、左辺で残るのは、a_n - a1
で、右辺は
4(1 + 2 + … + n-2 + n-1) = 4×{n・(n-1)/2} = 2n(n-1)
なので、
a_n - a1 = 2n(n-1)
an = a1 + 2n(n-1) = 1 + 2n(n-1)
となります。

n=1のとき、a1 = 1
n=2のとき、a2 = 5
どうやら、この式は正しそうだ。。。
　このチェックは大切、答案に書く必要はないけれど、n = 1くらいは頭の中でやる。これで一致しなければ、その答は間違っている！！

公式的に、a_(n+1) - a1 = Σa_k
　　Σはk=1～nまでの和をあらわす
を使ってもいいけれど、公式としての形式的な理解をすると、意外に間違えるものよ。
特に、数学の苦手な人は。。。

（２）これは、ちょっと。。。
問題の書き間違いなのだろうけれど。。。
「その書き間違えた問題はこうだったのかな」とちょっと考えたみたのだけれど、
思いつきませんでした。

回答No.2

Tacosan

どちらもどんな式なのかが分からない.

(1) どこまでが添え字?
(2) 例えば n=4 のとき 2n=8, 3n=12 だから成り立たないでしょ?

回答No.1

ShowMeHow

（1）http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1158064191
こやつの初期数をちょいといじくって、、、

（2）オイラには無理。　ってか、なんか問題写し間違えてないか？