連立微分方程式

質問

ａが正の実数であるとき
ｘ”（ｔ）＝－ａ・ｘ（ｔ）／（ｘ（ｔ）＾２＋ｙ（ｔ）＾２）
ｙ”（ｔ）＝－ａ・ｙ（ｔ）／（ｘ（ｔ）＾２＋ｙ（ｔ）＾２）
について

（１）微分とｔを含まないｘとｙとの関係式
（２）（１）の極座標表示

を教えてください
よろしくお願いします

回答No.6

oshiete_goo · ベストアンサー

最近特にご多忙と思しき某S氏その他の識者の補足訂正, コメント等をいただければ有難く思います.

回答No.5

oshiete_goo

＞（１）閉じないということは初期条件によっては微分方程式からｔと微分記号を消去できないのでしょうか？

軌道の方程式(軌跡を与えるrとφの式)：φ＝∫(M／r^2)dr／√[2m{E-U(r)}-(M／r)^2] ＋const.
に tは含まれません.

補足すると, 元の運動方程式が時刻tを陽に含まないので, Δt=t2-t1 だけが意味を持ち, 原点をずらしても, 不変だし, またアフィン変換 t=pt'+q で新しい時刻t'にしても, 測る時間のスケールだけの変換なので, 時間の間隔(と原点)は変わっても, 物理は変わらず, 軌跡も不変です.

＞（２）問題の（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））はいかなる初期条件でも有限の範囲に拘束されるでしょうか？
原題どおりだとYESです. 角運動量M=0なら静止または直線振動でしょうが, これも含めて(上に)有界です.

[略解] 原題だと F(r)=-dU/dr=－k/r より U(r)=k・ln(r) (k>0)・・・(*)　なので, 角運動量Mを考えた有効ポテンシャル Ueff(r)=M^2／(2mr^2)＋U(r) を使えば, 全エネルギーE(一定値)について[M=0の時は自明なので以下M≠0とします.]
E＝(m/2)(dr/dt)^2＋M^2／(2mr^2)＋U(r)＝K_r +Ueff(r)
より [K_r=(m/2)(dr/dt)^2]
K_r=E-Ueff(r)≧0 を満たすrが質点の可動範囲を与えますが,

今の場合 Ueff(r)=M^2／(2mr^2) +k・ln(r) (k>0) よリ
r→+0のとき, 第1項が支配的になり, +∞に発散するので, r=r_min(>0) が存在(M≠0のとき).
r→+∞のとき, 第2項が支配的になり, +∞に発散するので, r=r_max(>0) が存在.
よって(上下とも)有界で,rが有限の範囲に拘束される.
[余談ですが, (先日の)楕円軌道はもしあったとしても, よほどうまくtuningしないと無理そうに思われます.]

今は引力の場合に興味があるので, 一般式:F=-kr^α (k>0) でr→+∞のとき, ポテンシャルU(r)[=無限遠まで運ぶ仕事]はα≧-1ならば発散, α＜-1ならば収束で, (r→+∞のときは Ueff(r)も同じ極限に発散／収束する)

α＞-1 のとき(補足の例は α=-1/2に相当) U(r)={k/(α+1)}r^(α+1) →+∞ (r→+∞)でtrapされる.
α=-1 が上の例で, 対数発散し, 質点はこの場合も有限な領域にとどまる.

α＜-1のとき（通常の重力は α=-2）の場合は, Total energy E が0以上ならば, いわゆるKepler運動の放物線や双曲線と同様で無限遠に到達し得ることはご承知の通りです.（E＜0で束縛運動）

質問者さんは要点だけであとは十分お見通しで不要だったと思いますが, 自分なりの整理のつもりです,

お礼

問題が簡単なのでもっと単純になると思っていたのですが
ずいぶん精力的に説明していただいて大変ありがとうございました

回答No.4

oshiete_goo

今, 時間がないので, 夜まで待っていただけませんか. 整理します.

(1) 軌道の式の通り, あらわにはtを含みません. (意図と違ったら補足ください.)
(2) F=-kr＾α をrで積分してポテンシャルUを求めると, r→+∞のとき α＝－1を境に収束・発散が分かれます(元の問題はα=-1(Uは対数発散)でした).

回答No.3

oshiete_goo

半径rが r=r_max → r_min → r_max と変化したときの角の進みΔφが2πの有理数倍のときのみ有限回の回転で閉じる軌道になり, そうでないとき(無理数倍のとき) 永遠に閉じないという話だろうと思いますが,
角運動量Mを固定してエネルギーEを連続的に増やしていくと, "一周"したときの角の進みΔφは連続的に変化して, (量子条件のように)離散的ながら, 稠密な有理数の程度にびっしりと"閉じた"軌道が存在する...
ということなんでしょうかね.

補足

申し訳ありませんでした
こんなに大事になるとは思っていませんでした
（１）閉じないということは初期条件によっては微分方程式からｔと微分記号を消去できないのでしょうか？

ｘ”（ｔ）＝－ａ・ｘ（ｔ）／（ｘ（ｔ）＾２＋ｙ（ｔ）＾２）＾（３／２）
ｙ”（ｔ）＝－ａ・ｙ（ｔ）／（ｘ（ｔ）＾２＋ｙ（ｔ）＾２）＾（３／２）
であれば初期条件によっては（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））無限遠点に向かうことができるのですが
（２）問題の（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））はいかなる初期条件でも有限の範囲に拘束されるでしょうか？
強い引力を受けているので期待しているのですが・・・

よろしくお願いします

回答No.2

oshiete_goo

＃１の補足ですが，
＞一般的には閉じない軌道になるとのことで
これは，今の場合についての確言ではなく，一般的にはという意味で書かれてあるので，多分この場合もそうだろうという，oshiete_gooの憶測であって，裏付けはありません．

”1/r かr^2のポテンシャルでないと，すべての軌道が閉じることは無い”という趣旨の記述からすると，それ以外だと何かよほど特殊な初期条件とかで無いと閉じないとも読めるのですが，どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら，ご教示いただけるようお願いします．fine tuning して釣り合わせた円軌道とか以外に自明でない解があるのか？

回答No.1

oshiete_goo

中心からの距離に反比例する引力を受ける質点の運動の話で,
＠中心力なので角運動量は保存
というのが目に付くところですね.

設定を変えてしまって申し訳ないのですが,　[質問(２)の類題]
ポテンシャル　U(r)=k・ln(r) (k>0)・・・(*)　[←　F(r)=-dU/dr=－k/r より]
のもとに，(本問の設定)

ランダウ＝リフシッツ『力学』p.36～40あたりの結果のみ借用すると，以下，一般に
ラグランジアン　L＝(m/2){(dr/dt)^2+r^2(dφ/dt)^2}－U(r)
角運動量　M＝mr^2・dφ/dt＝const. ・・・（＊）
エネルギー　E=(m/2){(dr/dt)^2+r^2(dφ/dt)^2}＋U(r)＝(m/2)(dr/dt)^2＋M^2／(2mr^2)＋U(r)
これより
dr/dt＝√[(2/m){E-U(r)}-(M／mr)^2]
変数分離して積分
t＝∫dr／√[(2/m){E-U(r)}-(M／mr)^2] ＋const.
これを（＊）からの式　dφ＝(M／mr^2)dt　に用いて積分，
軌道の方程式：　φ＝∫(M／r^2)dr／√[2m{E-U(r)}-(M／r)^2] ＋const.
（ここまで一般論）

これに(*)を使えば良いわけですが，有効ポテンシャル Ueff(r)=U(r)+M^2/(2mr^2)＝k・ln(r)＋M^2/(2mr^2)
は　r→0　と　r→+∞　のどちらでも発散なので，質点は r_min≦r≦r_max の間のみ運動で，これがどうなるか．．．一般的には閉じない軌道になるとのことで，
『すべての有界な軌跡が閉じるような中心力の場が，たった２つだけ存在する．それは粒子のポテンシャル・エネルギーが 1/r および r^2 に比例する場である．』(同書p.40)
からすると，関数形からして，どうもきれいにはいきそうに無い気がします．
なお，引用した結果以外の部分は不備があるかも知れませんので，批判的に検証して下さい．また，新たな知見が得られましたらお教え下さると有難いです．