連立微分方程式についてです

質問

dy1/dt + ωy2 = Acos(ω0t)
dy2/dt - ωy1 = 0

ω>0,ω0>0,Aは実数定数,y1,y2は実数関数

(a)ω≠ω0のときの一般解を求めよ
(b)ω=ω0のときの一般解を求めよ

よろしくおねがいします…

回答No.1

bran111

文字の打ち込みの便を図って

y1=f, y2=g, ω=w, ω0=w0

と書く。結果を機械的に逆変換すればよい。

df/dt + wg = Acos(w0t) (1)

dg/dt - wf = 0 (2)

(a)w≠w0

(1),(2)からfだけの式を求める。

d(1)/dt : d^2f/dt^2 + wdg/dt =-w0Asin(w0t)

(2)より　dg/dt＝wf, これを上式に代入

d^2f/dt^2 + w^2f=-w0Asin(w0t) (3)

斉次方程式の解をf1,非斉次方程式の特解をf2とする。

f=f1+f2

である。

f1=asinwt+bcoswt

f2=csinw0t+dcosw0t

f2を(3)へ代入して係数c,dを求める。

(w^2-w0^2)(csinw0t+dcosw0t)=-w0Asin(w0t)

これより

d=0、c=w0A/(w0^2-w^2)

f=asinwt+bcoswt+w0Asinw0t/(w0^2-w^2) (4)

(1)より

g = (Acos(w0t)- df/dt)/w

=(Acos(w0t)- (awcoswt-bwsinwt+w0^2Acosw0t/(w0^2-w^2)))/w

=-acoswt+bsinwt+Acosw0t[1-w0^2/(w0^2-w^2)/w]

=-acoswt+bsinwt-wAcosw0t/(w0^2-w^2) (5)

(b)w=w0

(1),(2)からfだけの式を求める。

d(1)/dt : d^2f/dt^2 + wdg/dt =-wAsin(wt)

(2)より　dg/dt＝wf, これを上式に代入

d^2f/dt^2 + w^2f=-wAsin(wt) (6)

斉次方程式の解をf1,非斉次方程式の特解をf2とする。

f=f1+f2

である。f1は(a)の場合と同じ

f1=asinwt+bcoswt

でよいが、w=w0の場合、

f2=ctsinwt+dtcoswt

とする必要がある。これは(4)の式の分母が0になるのを避けるためである。

f2が(6)を満たす条件から係数を決定する。

d(f2)/dt=csinwt+dcoswt+ctwcoswt-dtwsinwt=(c-dwt)sinwt+(d+cwt)coswt

d^2(f2)/dt^2=(c-dwt)wcoswt-dwsinwt-(d+cwt)wsinwt+cwcoswt

=(2c-dwt)wcoswt-(2d+cwt)wsinwt

(6)へ代入

(2c-dwt)wcoswt-(2d+cwt)wsinwt + w^2(ctsinwt+dtcoswt)=-wAsin(wt)

2cwcoswt-2dwsinwt =-wAsin(wt)

よって

c=0, d=wA/2

f=f1+f2=asinwt+bcoswt+(wA/2)tcoswt (7)

(1)より

g = (Acoswt- df/dt)/w= (Acoswt- [awcoswt-bwsinwt+(wA/2)(coswt-twsinwt)])/w

=-acoswt+bsinwt+(A/2)coswt+(wA/2)tsinwt

=a'coswt+bsinwt+(wA/2)tsinwt (8)

aは初期条件から決まる定数であって、-a+A/2=a'とおいた。