行列の質問(難）

質問

HC定理を利用した証明

A=(a b),E=(1 0)とする。ただし、Aの成分は実数で,x=a+d,y=-(ad-bc)とする。次のことを証明せよ。
^^^(c d)^^^(0 1)
A^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O

解 行列Aについて,ハルミトンケーリーの定理からA^2-xA-yE=O すなわち A^2=xA+yE・・・・(1)が成り立つ。
A^3=AA^2=xA^2+yA=x(xA+yE)+yA=(x^2+y)A+xyE・・・・(2)
A^3=EかつAnot=Eならば,(2)から (x^2+y)A+(xy-1)E=O・・・・(3)
[1]x^2+y=0・・・・(4)のとき,(3)から
(xy-1)E=O よってxy=1・・・・(5)
(4)からy=-x^2 (5)に代入して x^3=-1 xは実数であるから x=-1 ゆえにy=-1
よって,(1)から A^2+A+E=O
[2]x^2+ynot=0のとき,(3)から A=(1-xy)E/x^2+y
1-xy/x^2+y=kとおくと A=kE これをA^3=Eに代入して整理すると(k^3-1)E=O ゆえにk^3-1=0
kは実数であるからk=1であり,A=Eとなるが、これはAnot=Eｎ反する。
[1],[2]から、題意は示された。

教えてほしいところ
自分は[2]は書かないで[1]だけ書いて証明しました。
なぜ、[1]だけでもA^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O
ということを示せているので正解じゃないんですか？？
[2]を書かないといけない必要性を教えてください。

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

＞A^3=EかつAnot=Eならば,(2)から (x^2+y)A+(xy-1)E=O・・・・(3)
＞[1]x^2+y=0・・・・(4)のとき,(3)から

＞自分は[2]は書かないで[1]だけ書いて証明しました。
＞[2]を書かないといけない必要性を教えてください。

　[1]だけで十分だと思われたのは、A≠E　であれば　式(3)が行列の恒等式として成立すると思われたからではないですか。
　確かに　A が E と独立の行列でしたらその考え通りなのですが、AがEの定数倍(A=kE) の場合が可能性としてあるので、この時点では　式(3)を恒等式と考えることができないのです。
　そのため、A=kE となる可能性が排除できないため場合分けで[2]を考えるのです。

お礼

有難うございます。できれば、これからもお願いします。

回答No.4

momordica

余計なお世話かもしれませんが、
「ハルミトン」じゃなくて「ハミルトン」です。
以前の投稿でも間違って書いていらしゃったようなので、ひょっとして
勘違いして覚えていらっしゃるのではないかと。

質問への回答でなくてすみません。
そちらの方はほかの皆さんが的確になさってますので、

回答No.3

alice_44

[1] で x^2+y=0 のとき、
[2] で x^2+y≠0 のときを考察しているのだから、

[1] しか書かなかったら、
x^2+y=0 のときに成立することは示したが、
x^2+y≠0 のときはどーなるか分らん
という証明にしかならない。当然、不完全だ。

[2] のときは (A^3=E かつ Anot=E) に成りえないからいいじゃん
というのであれば、(A^3=E かつ Anot=E) に成りえないことを
示しておかねばならない。[2] の対偶が、それにあたる。

結局、[2] 相当の内容を書くことになるね。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞自分は[2]は書かないで[1]だけ書いて証明しました。
逆に、なぜ x^2+y＝ 0のときしか示していないのですか？
その場合分けが無視できることを示さなければなりません。

その証明だけでは、
A^3＝ Eならば、A^2+ A+ E＝ 0となる「ときもある」
（確実に A^2+ A+ E＝ 0であるとは言えていない）

というところまでしか示せていません。

そして、もし x^2+ y≠ 0のときに、A^2+ A+ E≠ 0となる Aが見つかったらどうしますか？
「そんなことはないよ」と、抜け・漏れなく示すことで証明は完結します。
そこで A≠ Eという条件が活きてきます。

回答No.1

koko_u_u

>[1]だけでもA^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O
>ということを示せているので正解じゃないんですか？？

[1] で表われた、x^2+y=0 は何処から得られたのですか？補足にどうぞ。