簡単な2次方程式の問題のはずなのですが…

質問

センター40日前近くで、焦って問題集やってるのですが…

aを実数として、２つのxの2次方程式
x^2 +(2-3a)x+2a^2-3a+1=0・・・(1)
2x^2 -2ax-a+1=0・・・(2)について考える

方程式(1)と(2)が共通の解ｘを１つもつとき、aと共通の解ｘの値は□である。

という問題なのですが…。

＜自分の方針＞
(1)の左辺＝(2)の左辺　という式をつくり
判別式Ｄ＝0でジュウカイを求める。
そのときのaの値を求める。
ゆえに、xの値も求まる。

＜模範解答の方針＞
(1)の解を求める。
x=2a-1,a-1である
ア）x=2a-1を(2)に代入して、a=1,3/4を得て、それぞれx=2a-1に代入してx=1,1/2を得る
イ）x=a-1についても同様にして、a=1のときx=0を得る
a=1のとき共通の解は1と0の2つあるから不適。
よって(a,x)=(3/4,1/2)である。

というなんとも、面倒な気がする解答だなぁ～と思ったのですが・・・

○自分の方針でやると、どうも答えがあわないのです！
D=(a-2)^2-4(-2a^2 +2a)=9a^2-12a+4=(3a-2)^2=0
あ、キレイにジュウカイになったからあってるな！
a=2/3 このとき、x=2/3。

マークシートの□の形にもぴったり合って、自信満々に丸付けをしたら間違っておりました…。計算をもう一度しなおしてみても、この通りになり、しかもキレイ因数分解できたことから、正解だと確信しておりました…。実際のセンターでは時間無いからやらないと思いますが、検算をやってみると（a,xの値を実際に代入して成り立つか）、どうも合いません…。

どなたか、分かる方ご解答ねがいます！
あと、当方計算ミスがやたらに多くて…、対策としては、端折らないで、少し落ち着いてきれいな字で書く、字を少し小さめに書いて、丁寧に解答していく（センターは計算スペースがすくないので…）と、極力途中経過をキレイに書き残していこうと考えています。
他にも、チェック機構として、平面図形などではトレミーなどの定理に当てはめてみて解答を暗算でチェックする程度はやっています。

質問の2次関数の問題の疑問点が解決できる方、ケアレスミスが少なくなる方法その他うれしい情報をお持ちの方

どちらか一方でいいので、是非ご解答ください！お願いします！

回答No.4

info22 · ベストアンサー

> x^2 +(2-3a)x+2a^2-3a+1=0・・・(1)
> 2x^2 -2ax-a+1=0・・・(2)

共通の解ｘを１つだけもつということは
(1)と(2)の左辺が１次の共通因数をもつことです。
それぞれ２次方程式ですから、他の解は同じであってはならないっということです。

解法として、共通因数候補を見つけることです。
その方法として
（A)左辺が因数分解できないか調べて、簡単に解が求められるなら求めてそれがただ１つの共通解になりうるかを調べる。ただ１つの共通解となるように係数を決定する。

簡単な√の入らない因数で因数分解できないなら
（B)(1)と(2)から二次の項を消去した方程式を作る。共通解があるとすれば、この方程式の共通解となります。この共通解を(1)に代入して係数を決定する。

このいずれかの解法があるということです。テストでは簡単な方の解法を選択して解答時間を有効に使わないといけません。
そのためには、普段から両方の解法をやってみて、どういった場合にどちらの解法がよいかを見抜けるようにしておかないといけません。

後者の（B)の解法では
2*(1)-(2)から
4(1-a)x-(4a-1)(1-a)=0
(1-a)(4x-4a+1)=0 ∴a=1,x=a-(1/4)

a=1の場合
(1),(2)は
x(x-1)
2x(x-1)=0
で2つの共通解(0,1)となって不適。

a≠1の場合
x=a-(1/4)
これを(1)に代入して
aについて整理すると
-(3/4){a-(3/4)}=0
∴a=3/4 この時　x=(3/4)-(1/4)=1/2
となります。
(解としては他のxの解の確認は必要なし)

解(a,x)=(3/4,1/2)

なお、この時の(1)の解は、(1/2,-1/4), (2)の解は、(1/2,1/4)
となって確かに共通解は1/2の一個だけです。

このようにどちらでも解けるようにしておいてより簡単な解法を選択できるようにしておいた方がいいでしょうね。解答のチェックにも使えます。

回答No.3

debut

＞(1)の左辺＝(2)の左辺　という式をつくり
＞判別式Ｄ＝0でジュウカイを求める。
　　という方針では、＝０が無視されてしまっていて
　　共通解ではなく、放物線ｙ＝x^2 +(2-3a)x+2a^2-3a+1と
　　放物線ｙ＝2x^2 -2ax-a+1が１点で交わる（接する）
　　ときの条件を求めていることになってしまいます。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね…。ジュウカイを求める意味はないわけですよね。
別に、2次方程式自体、2つ解をもったっていいわけで、ｘ軸上で共通する解をもつかどうか？ってことが大事なんですよね・・・。

同じような問題が出題されたら、今度は勘違いしないように気をつけます＞＜

回答No.2

incd

とりあえず、a=2/3を方程式に代入してみると、
（１）の解はx = ±1/3　で
（２）の解は、解なし（虚数解）　になってしまいますので、間違っているのは明らかです。

やはり、

(1)の左辺＝(2)の左辺　という式をつくり
判別式Ｄ＝0でジュウカイを求める。

という方針がおかしいのではないでしょうか。
題意からは重解になる必要性が見出せないように思います。

お礼

すみません＞＜
間違えて補足に書いてしまいました。

補足

解答ありがとうございました。
ジュウカイは全然関係ありませんでしたね・・・。

回答No.1

abyss-sym

＞(1)の左辺＝(2)の左辺　という式をつくり

→y=x^2 +(2-3a)x+2a^2-3a+1とy=2x^2 -2ax-a+1の交点を求める式

＞判別式Ｄ＝0でジュウカイを求める。
　そのときのaの値を求める。

→交点が１つとなるaの値を求めている。

これでは、１つ条件が不足しています。
２式が交わる点が共通の解になる（グラフであれば、x軸上で交わる）
という条件が不足しています。

あなたの方針だと、二つのグラフが１点で交わる時のaの値を求めてしまっているんです。

お礼

解答ありがとうございます。
ア・・・　そうですよね。
てっきり、「共通の解」→「ジュウカイ」→「判別式」と勘違いしておりました。共通の解というのは、2つの方程式（放物線）が接するというわけではなくて、ｘ軸と交わるｘ座標が共通なものが１つあるというだけで、接することとは関係ないんですよね…。

ただ、全然間違っているのに、なんでキレイな数字が出てきたのだろう…、解答欄にぴったり当てはまったし…というのが不思議です。
偶然なのか、それとも数学の神秘なのか？（数学が苦手なのでそこら辺のところはいまいちわからないので…）

けど、ほとんどの2次方程式のジュウカイって、仕組まれた問題以外は、ルート入ったり汚い数値になるはずなので偶然なんですね、多分。