方程式の問題、同一性の保持とは

質問

こんばんは、よろしくお願いします。

xに関する2つの方程式が少なくとも1つ共通解を持つ為の条件を求め、その共通解を求めよ。

x^2+px+2p+2=0・・・1

x^2-x-p^2-p=0・・・2

方針：連立方程式を解き、次数を下げる。

方針どおりに　1-2　の連立方程式を解きまして、

(p+1)x+p^2+3p+2=0

(p+1)(x+p+2)=0・・・3

ア、p=-1でないとき、（すいません。記号の出し方が分りません）

x=-(p+2)これを2に代入して、

(p+2)^2+(p+2)-p^2-p=0

4p+6=0 p=-3/2となり、x=-1/2

イ、p=-1のとき、

1も2も

x^2-x=0となりx=0,1ですね。

と、ここまで自分なりに考えまして、解説を見たのですが、

答えの値としては合っている様なのですが、

"ア（p=-1でないとき）の部分でx=-(p+2)を2に代入していることによって同値性を保持していることに注意してもらいたい。”

とあるのですが、わからないです。

ただなんとなく連立方程式を解いて、代入して答えが出てしまいました。

同値性を保つということはどういうことなのでしょうか？

また、（p=-1でないとき）の部分でx=-(p+2)を2に代入することによってなぜそれができるのでしょうか？

同値という用語は数学A習ったので分ります。⇔という記号を使う必要十分条件ですよね。

長々と書いて申し訳有りませんがよろしくお願いします。

回答No.2

vigo24 · ベストアンサー

こんばんは。

x^2+px+2p+2=0・・・(1)

x^2-x-p^2-p=0・・・(2)

今あなたは、{(1)かつ(2)｝（(1)と(2)を同時に満たすｘ）という連立方程式を考えています。

けれどこのままでは解けないので、
{(1)かつ(2)｝という連立方程式を別の形に置き換えるわけです。

そしてあなたはx^2を消去するために（(1)－(2)）を計算して
(p+1)(x+p+2)=0・・・(3)
という式を出しました。

そしてp+1≠0でない時に(3)を満たすxをx＝－（p+2）・・・(4)
と求め、これを(2)に代入してx=-1/2と求めました。

要するに無意識のうちに
｛(1)∧(2)｝⇔｛(2)∧(3)｝⇔｛(2)∧(4)｝
という同値変形をしてこの方程式を解いたわけです。
つまり
(1)と(2)を同時に満たすxを求めることは
(2)と(4)を同時に満たすxを求めることと等しい
ということです。

もろろん(2)の代わりに(1)を用いて
｛(1)∧(2)｝⇔｛(1)∧(3)｝⇔｛(1)∧(4)｝
と同値変形して、
(1)と(4)を同時に満たすｘを求めてもよいわけです。

ちなみになぜ｛(1)∧(2)｝⇔｛(2)∧(3)｝が成り立つかというと

「⇒」の成立は　(3)は「(1)－(2)」であり、(1)と(2)が成り立つｘは
「(1)－(2)」も成り立たせるわけですから当然(3)も成り立つわけです。

「←」の成立は　(3)である「(1)－(2)」と(2)が成り立てば
(3)＋(2)である(1)も当然成り立つから「←」も成り立つわけです。

※「≠」は「いこーる」の変換で出ます。

回答No.3

noname#47975

＞また、（p=-1でないとき）の部分でx=-(p+2)を2に代入することによってなぜそれができるのでしょうか？

２ではなく、１の場合でも同じ事だと思います。

#2さんがおっしゃる通り、
１と２の連立方程式と、１と３の連立方程式、２、３の連立方程式は
全て同値です。
質問者さんの場合は、２と３の連立方程式を解いたと見なす事が出来ます
ね．．。１と３の連立方程式によって得られた解は当然、
１と２の連立方程式にも当てはまりますので、同値性については保証されます。

なぜなら、

x^2 + px + 2x + 2 --- (1)
x^2 - x - p^2 - p --- (2)
(p+1)(x+p+2) ----(3)

とおくと、

Ｐ：ｘ、ｐは(1)＝０かつ(2)＝０を満たす
Ｑ：ｘ、ｐは(1)＝０かつ(3)＝０を満たす

Ｑの(3)＝０はすなわち、(1)－(2)＝０になります。
という事は、ｘ、ｐは(1)＝０かつ(1)－(2)＝０となります。
よって、(1)＝０、(1)＝(2)より、(2)＝０となり、
(1)＝０かつ(2)＝０となって、Ｑ⇒Ｐとなります。
逆に、Ｐ⇒Ｑならば、
(1)＝０かつ(2)＝０より、(1)＝０、(３）＝０となります。
よって、Ｐ⇔Ｑとなります。

回答No.1

noname#101087

x^2+px+2p+2=0　　(1)
>x^2-x-p^2-p=0　　(2)

まず、式(1),(2) が共有根を持つと想定したとき、
　　p=-1 であるか、p=-1 ではなく x=-p-2 であるか、のいずれかが成立する。
という条件が導出されたわけです。
この条件は、式(1),(2) が共有根を持つための必要条件ですね。

式(1),(2) が共有根を持つための充分条件であることを示すためには、式(1),(2) へ代入して共有根を確定して
みせなければならない、ということじゃないでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございました！！！