近似の問題

質問

伝搬定数と呼ばれるγ=α+jβ=(√(R+jωL)(G+jωC))の式で、αとβは計算すると

α=[1/2*{√(R^2+ω^2*L^2)(G^2+ω^2*C^2)}-1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)
β=[1/2*{√(R^2+ω^2*L^2)(G^2+ω^2*C^2)}+1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)

となる事が分かったのですが、ここで
R<<ωL　、　G<<ωC　　の条件を適用させて近似させると、

α≒(R/2)*√(C/L)+(G/2)*√(L/C)
β≒ω√(LC)

という形になるらしいのですが、どうアプローチしていけばこの形になるのか分かりません…
電気回路の式が出てきていますが、近似に関する問題なので数学のカテゴリーで質問させて頂きました。
また、式が見づらいので、見やすい式は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%B8%83%E5%AE%9A%E6%95%B0%E5%9B%9E%E8%B7%AF
こちらの中央に載っています。

どうかご教授お願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

次の２つの近似式を使って導いてください。
１）ｘ≪１　⇒　１＋ｘ≒１
２）ｘ≪１　⇒　(1+x)^(1/2)≒1+x/2

　α＝[1/2*√{(R^2+ω^2*L^2)(G^2+ω^2*C^2)}-1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)
　　＝[1/2*ω^2*LC√{1+R^2/(ω^2*L^2)√{1+G^2/(ω^2*C^2)}-1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)
　　≒[1/2*ω^2*LC{1+R^2/(2ω^2*L^2)}{1+G^2/(2ω^2*C^2)}-1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)
　　≒[1/2*ω^2*LC{1+R^2/(2ω^2*L^2)+G^2/(2ω^2*C^2)}1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)　　（２次の項：R^2/(2ω^2*L^2)*G^2/(2ω^2*C^2) (
x^2に相当)は他の０次や１次の項に比べて微小ですので無視します。）
　　＝(1/2)[(C/L)R^2+(L/C)G^2+2RG]^(1/2)
　　＝(1/2)[ {R√(C/L)+G√(L/C)}^2 ]^(1/2)
　　＝(1/2){R√(C/L)+G√(L/C)}^2
　　＝(R/2)√(C/L)+(G/2)√(L/C)

　β＝[1/2*√{(R^2+ω^2*L^2)(G^2+ω^2*C^2)}+1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)
　　＝[1/2*ω^2*LC√{1+R^2/(ω^2*L^2)√{1+G^2/(ω^2*C^2)}+1/2*(LCω^2-RG)]^(1/2)
　　≒[1/2*ω^2*LC+1/2*LCω^2]^(1/2)
　　＝ω√(LC)

お礼

解けました！詳しい解答ありがとうございました。

回答No.3

info22

> αが0になってしまいます…
(A+a)-Aのような計算では、A>>aのとき　aを近似で省略するとA-A＝0という結果がゼロになってaが出てこない事があります。セロとなる場合は、近似の仕方をマクローリン級数展開の第二項まで取ると良いですね。
> αもこの方法で求められるのでしょうか？
結果が０の場合は、√(1+x)≒1+(1/2)x (x<<1の時)
という近似を使います。そして x^2以上の項が出た場合は省略します。
そうすると結果の式が出てきます。

>α=[(1/2)*{√(R^2+ω^2*L^2)(G^2+ω^2*C^2)}-(1/2)*(LCω^2-RG)]^(1/2)
> α≒(R/2)*√(C/L)+(G/2)*√(L/C)

途中の計算は#2さんがすでにやっておられるようですので
省略させて頂きます。

お礼

詳しい解答ありがとうございました。

回答No.1

info22

R<<ωL　から
(R^2+ω^2*L^2)≒ω^2*L^2
G<<ωC　から
(G^2+ω^2*C^2)≒ω^2*C^2
また
R<<ωL
と
G<<ωC
の両辺を掛けて
RG<<ω~2 LC
ですから
(LCω^2-RG)≒LCω^2

と近似して計算してみて下さい。

補足

回答ありがとうございます。
そう近似して計算してみたのですが、βはちゃんとω√(LC)の値になるのですが、αが0になってしまいます…
αもこの方法で求められるのでしょうか？