分散の検定

質問

昨年末のアクチュアリー試験での問題です。

分散の片側検定において，真の分散が帰無仮説において仮定された分散の3倍になったとき，帰無仮説が確率95％以上で棄却されるようにするには標本数が[　]個あればよい．ただし，平均は未知とし，有意水準は0.05とする．

という問題です。分布に何の仮定もないし、標本数の大きさを問うのだから正規分布近似も適当だとは思えません。とするとχ^2-testではできないように思います。こういう問題の場合、どのように解くものなのでしょうか？

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

私は統計については全く素人なのでお答えしない方が良いかもしれませんが、単に「正規分布と仮定する」というのを書き忘れているのではないでしょうか。というのはノンパラメトリック検定ならばメディアンなど分布に依存しないものが対象になると思います。また分布を仮定しなければそもそも母分散が存在するかどうかもわかりません。「標本をいくら以上にすれば母分散が存在することがわかる。」などということはないと思います。すると標本をいくら増やしても分散の検定はできないのではないでしょうか。

お礼

ありがとございます。言われてみればまったくおっしゃる通りだと思いました。正直そうでもしなければ問題として成立しないはずですし。ただ他にも統計の問題があって、そこには「正規母集団からの何とかかんとか標本」とちゃんと書いてある問題ばかりで、もしかしたら何か別の標本によらぬ方法があるのだろうか？などと考えておりました。二次モーメントの存在を仮定しても母集団分布が異なると標本数の決定はできないようです。検定に用いる標本統計量についての言及もしてないし、つくづくいけない問題だなぁ、と思ったりします。

回答No.2

arcadia91

No1です。この問題の表現がへたくそで不親切なので、まず問題の意味を理解できれば半分は解けたようなものでしょう。そう思いませんか。この問題を私なりに解釈すると、「AとBのサンプルがあって、それぞれのバラツキの大きさ（普遍分散）を見ると、相対的な比率は３：１でした。このふたつのサンプルが同じ母集団から採られたものかどうか９５％の信頼度で検定したい。それぞれのサンプルサイズは最低何個必要か？」といった感じです。　さて、ここに普遍分散の値は与えられていませんが、比率が与えられています。世の中には普遍分散の比率を一覧表にしたものがありましたね。もうおわかりでしょうから、その表をじっくり眺めれば「１０個」の理由がわかるはずです。　お願いがあります。このページを締め切らずに、模範解答が出たら必ず教えてください。よろしく。

お礼

模範解答ではないですが、たぶんこういうことに違いないだろうと思うので書いてみます。締め切らずに長いことおいておくのも気持ちよくないですので。

正規母集団を仮定します。母集団分布をN(μ,σ^2)として、帰無仮説H_0:σ^2=σ_0^2、対立仮説H_1:σ^2=3σ_0^2として、有意水準0.05のもとで、検出力を95％以上にする最小のnを求めよ、という問題だと解釈します。
不偏分散s^2を用いて(n-1)s^2/σ^2が自由度n-1のχ^2分布に従うことから、棄却域をnの関数と見て（分散が3倍になることを対立仮説に用いるから右側検定だと考えて）(α_n,∞)とおいておけば
χ_{n-1}^2(0.05)=(n-1)α_n/σ_0^2
χ_{n-1}^2(0.95)≧(n-1)α_n/{3σ_0^2}
を得る。ただしχ_n^2(ε)は自由度nのχ^2分布の上側ε点。よって比をとれば
χ_{n-1}^2(0.05)/χ_{n-1}^2(0.95)≦3
なる最小のnを求めればよく、
χ_18^2(0.05)/χ_18^2(0.95)=3.074...
χ_19^2(0.05)/χ_19^2(0.95)=2.979...
となることからn≧20であればよい。ということだと思います。たぶん。

補足

ありがとうございます。F分布のことでしょうか。とにかくまたよく考えてみます。確かに問題は非常に不親切だと思いました。また解答など判明したらちゃんと書こうと思います。

回答No.1

arcadia91

必要なサンプルサイズは１０個ぐらいでしょうか。
答えはどうなってますか？

補足

コメントありがとうございます。実は確かまだ解答が発表されていないはずなので、自分で解きなおしてみようと思って考えていたのですが、できずにいました。普通、不偏分散を使って検定を行うと思うのですが、その仮定もないし、途方に暮れています。正直なところ問題に不備があるのでは？とすら。10というのはどのようにして出されましたか？サンプルから計算した不偏分散の統計分布が分からないことにはさすがに解きようがないように思うのですけれど。