去年の東大（学部）の二次の数学問題、８分で解けちゃったんですけど・・・あってるんでしょか？

質問

高校数学でごめんなさい。

去年の、東大二次試験の数学(文系）の問題・・・
http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/sokuho07/tokyo/zenki/sugaku_bun/mon3.html

これ、代ゼミで模範解答だとめんどくさいことやってるんですが・・・
http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/sokuho07/tokyo/zenki/index.html
（しかし、これだけ模範解答が手書き・・・。時間なかったのかな？）

・・・こんなかんじで、かんたんに解けたんですが・・・８分ほどで・・・。（まあ、1行目以外はひたすらベタに計算ですが））
↓↓↓こういう解き方した人っているんでしょか？↓↓↓みなさんだと、こんなんあたりまえ？

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5*m^4=5*m^2*m^2 とみなせる。なお・・・
m=０の場合、m^2は、０ mod(100)、m^4=m^2*m^2は、０ mod(100)、それを５でかけると０ mod(100)

なお、以下明言しない限りは、計算結果はmod(100)の結果とみなす。

m=1の場合、m^2は、１、m^4=m^2*m^2は、1、それを５でかけると5
m=2の場合、m^2は、4、m^4=m^2*m^2は、16、それを５でかけると80
m=3の場合、m^2は、9、m^4=m^2*m^2は、81、それを５でかけると5
m=4の場合、m^2は、16、m^4=m^2*m^2は、56、それを５でかけると80
m=5の場合、m^2は、25、m^4=m^2*m^2は、25、それを５でかけると25
m=6の場合、m^2は、36、m^4=m^2*m^2は、16、それを５でかけると80
m=7の場合、m^2は、49、m^4=m^2*m^2は、1、それを５でかけると5
m=8の場合、m^2は、64、m^4=m^2*m^2は、96、それを５でかけると80
m=9の場合、m^2は、81、m^4=m^2*m^2は、61、それを５でかけると5
m>=10の場合、m^4は、0となるので、（mod (100)）、それをかけると0
よって、最終的な解答は、すべてで、0,5,25,80　■

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数学久しぶりにやってみたら、新鮮で、しかもあっさり解けちゃって、
「あれ、こんなんでいいの？」みたいな、すんごい素朴な疑問でして。。。

気になって眠れません・・・。

ちなみに東大文学部中退、現在プログラマ30代ッス。ちなみに学コンマン＠東大への数学、やってました。
でも大学の数学はほとんどやってません。

どんなんでもいいので、つっこみなり意見なり感想なりいただけると、
楽しいです。

よろしくお願い申し上げます。

回答No.7

hugen · ベストアンサー

模範解答は、駿台　↓

参考URL：

http://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou2007/toudai1/sugakua/k03.htm

お礼

お礼が遅くなりまして失礼いたしました。

いやあ、さすが、東大合格者数 No.1（いや、今は知りませんが）の駿台ですね。

ものすごくオーソドックスで、奇をてらわず、それでいて、
あっさりとけてしまう。

m=10k + L(k,Lは整数で、【-4<=L<=5】）とするところなど、さすがですね。
そうか、mod 100 をだすのだから、（自分、mが正の整数ということに、とらわれてしまいましたが）、
mが負の整数とか0でも関係ないですね。

で、計算を簡単にするために、対称性を生かして、【-4<=L<=5】とする。

さすがです。実は自分、駿台のお茶の水校に通ってたんですけどね・・・。

たしかに、駿台の授業の解答も、こういうオーソドックスな解き方をしてました。
（数学の先生は最悪でしたが・・・）

素直に考えれば、５分ちょっとで解けてしまう問題ですね。。。

うーむ。参考になりました。

ありがとうございます。

回答No.6

ringohatimitu

≡の読みですが日本語で何と言ってますかね～特に何とも言ってないような気が。英語だと～congruent to～とかそのまま～mod～なんですけどね。

お礼

お礼が遅くなりまして失礼いたしました。

実は、このページの、ここより下で、自分は≡は、コピペで記入していました。

MS-IMEだったら、「きごう」で変換できそうですが・・・。

ATOK2007だと、全然、変換が見つかりません。
「いこーる」で変換すると、
（以下は、全て、vistaの機種依存文字です。あしからず）
⁼
⋕
≌
≈
≑
≗
≛
≟
などはでるのですが、
「≡」はありませんでした。
・・・と思ったら、「ごうどう」で、変換できました。

ありがとうございました。

補足

あ、実体参照になってしまった・・・すみません。

回答No.5

joggingman

ロピタルの定理と同じように、合同式も使った計算も
公式的に使うのは、最近の大学受験では避けるのが通常のようです。

ロピタルも、合同式もちょっと説明を加えればいいのでしょうが。
1979年のこの文理共通問題も合同式を使えばいいので、
当時は使ってよかったのでしょう。

　aを正の整数とし，数列{u(n)}を次のように定める．
u(1)=2、u(2)=a^2+2
u(n)=a*u(n-2) -u(n-1)　;n=3,4,5,・・・
このとき，数列{u(n)}の項に4 の倍数が現れないために、
aのみたすべき必要十分条件を求めよ。

お礼

お礼が遅くなりまして失礼いたしました。

(a+b)^4って、そういえば、公式的ですね。
なんも意識せずに使ってしまいました。

自分が東大を受けたのは、1994年なのですが、
そういえば、あのころは、なんの公式だか忘れましたが、
本来は大学数学の範囲の公式を、暗黙の了解で、一部の人は使っていました。

ロピタルの定理・・・一度、知った記憶はあるのですが、すっかり忘れてしまいました。。。やはり、所詮文系出身の限界でしょうか・・・。

正直、その問題、さっぱりでございます；；

ともあれ、ありがとうございました。

回答No.4

ringohatimitu

適当と言えば適当かもしれませんね。まあ焦点は質問者さんが本当に「m≧10のときm^4=0 mod 100」と思っているのか「５倍してるからmをmod 10で考えるだけでいい」ことを分かってるかどうかですが。

お礼

すいません。たぶん、両方ごっちゃに考えていました。
入試から１０年ちかくたっているのですが、かなり、ぼろぼろです・・・。

ところですみません。≡ って、何とよむのでしょうか？
そういえば発音したことがなく・・・。
ちなみにATOK2007を使っているのですが、なんといれれば、変換できそうでしょうか・・・。

まあ、単語登録をすればいいのでしょうが、関心がございまして。

よろしくお願い申し上げます。

回答No.3

koko_u_

いや。オレは適当すぎるからダメだという意味で回答したんですけどね。

お礼

＃１でおわかりのとおり、てきとーすぎました。反省。
ありがとうございます。

回答No.2

ringohatimitu

大体それでいいと思います。１さんが注意さてるように、m≧10のとき「m^4を5倍してるので」結果[mod 100]で余りがすべて消え、結局m＜10で試せばよいとなりますね。入試問題ですが一応正確にできるところはなるべく正確に進めておきましょう。まあどこの大学入試問題でも大抵数行で解答を終わらせることができる（というかそのように問題が作られているはず）と思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
もはやベストな解答かわかりませんが・・・いちお・・・

※αは、１以上９以下の整数。
5*【(10 + α)^4】= 5 * 【10^4 + 4*(10^3)*b + 6*((10^2)*(α^2))) + 4*10*(α^3) + (α^4)】
　≡ 5*4*10*(α^3)
（∵ 展開して10^2がくっついてる項は、自明。最後の 5*(α^4) の項は証明済み）
　≡ 200 * (α^3) ≡ 0 mod 100

・・・であってます？（汗

回答No.1

koko_u_

>m>=10の場合、m^4は、0となるので、（mod (100)）、それをかけると0
例えば m = 11 なら m^4 = 14641 ≡ 41 mod 100 ですね

お礼

ご回答ありがとうございます。

すいません、最初に、計算ミスがあったので・・・
「m=6の場合、m^2は、36、m^4=m^2*m^2は、16、それを５でかけると80」
これウソです。m^4=m^2*m^2 = 36^2 = 1296 ≠ 16 mod 100です。

で、訂正・・・
============
m=6の場合は、下記のように例外的なアルゴリズムて処理することとする。
m=6の場合、m^2 = 36 ∴ m^4 = m^2*m^2 = 36*36 = 1296 ≡ 96 mod 100
ゆえに、5*m^4 = 5*m^2*m^2 ≡ 480 ≡ 80　・・・ですね。
============

つか、ずるいなこれ・・・。一挙に解答がださくなった・・・

==========================================================

＞>m>=10の場合、m^4は、0となるので、（mod (100)）、それをかけると0
＞例えば m = 11 なら m^4 = 14641 ≡ 41 mod 100 ですね

あ・・・これ、うそついてるから減点ですね・・・

んと、
---
m>=10の場合、m = 10 + α(αは1<=α<=9を満たす整数)とおくと、
m^4 = m^2*m^2 = ((10 + α)^2)*((10 + α)^2)
= (10^2 + 2*10*α + α^2)^2
= (10^2)^2 + (2*10*α)^2 + (α^2)^2 + 2*(10^2)*(2*10*α) + 2*(10^2)*(α^2) + 2*(2*10*α)*(α^2)
= N とおく。

数学入試的日本語が思い出せないので数式でごういんに・・・；；

すると、N*m^4 ≡ 2*(2*10*α)*(α^2) mod 100 ...あ、つまづいた・・・。
α^3ってはじめてでてきた・・・。

N*m^4 ≡ 40*α^3・・・αが１のとき、アウトです・・・

どこでつまづいたんでしょうか・・・？

数式だらけにしたのが裏目にでたかな。。。

補足

すいません、

なんで、m^4をNとおいて、N*m^4 とかやってるんだろ。

というか、指数がはいっててぱにくって、
5*(m^4)=(m^4)*5ってことわすれてる・・・
中学レベルだ・・・すいません。頭ひやしてきます。