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高校教科書では、図形を回転させる？座標を回転させる?
たとえば、２次曲線 x^2+xy+y^2=1 のグラフを書いたり、面積を求めたり、形状を調べるには、標準形にすることがよくあります。 高校教科書でそれらのことを説明する場合、 図形を回転させているのでしょうか？ それとも、座標を回転させているのでしょうか？ 実質的には同等なのですが、どちらをメインにするかで確実に差異があると思います。 個人的には、現在の高校教科書では図形を回転させる立場、 数十年前の教科書では、座標を回転させる立場で書かれていたと思っているのですが、どうなのでしょうか？ 大学の教科書、または、世界的な傾向としては、どうなのでしょうか？
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書かれている文面の通りです。 １９６７年度 数学IIＢ（一冊）の教科書では、 第５章 図形と方程式。 第一節 二次曲線 １、２、３、４、５ 第二節 座標軸の移動 ６、図形の移動と対称 ７、座標軸の平行移動 ８、座標軸の回転 （←） 第三節 曲線の種々の表し方 ９、１０、１１ となっています。 当然ながら、図形の回転の式と、座標軸（座標）の回転の式は、θ → －θ と逆になります。 当時は行列が教育課程になかったからと思いますが、座標軸の回転が表現できるのだから、図形の回転の式も（行列を使わなくても）表現できて、図形の回転の式の方が遥かに判り易いので不思議でなりません。 何か明治以来（あるいは世界的）の歴史的背景があったように思えてなりません。これが何年度に、図形の回転（行列）に席を譲ったのかは判りませんが、少なくとも１９８０年以前と思います。 大学の教科書、世界的な傾向に至っては全く判りません。
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- stomachman
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> たとえば、２次曲線 > x^2+xy+y^2=1 > のグラフを書いたり、面積を求めたり、形状を調べるには、標準形に> することがよくあります。 仰る所の「標準形にする」という操作は、もとの式を X=xcosθ-ysinθ Y=xsinθ+ycosθ で定義されるX,Yで表すということであり、つまり図形も座標系(x,y)もそのままにして、(X,Y)という別の座標系を新しく導入したことになります。（だから、いつでも元の座標系(x,y)に戻って議論することができます。） 一方、「図形を回転させる」という幾何学的な変換操作を行うのであれば、変換の結果は元の図形Aとは別の新しい図形Bです。（だから、変換の後でも元の図形Aについて議論することができます。） いずれにせよ「座標を回転させる」という表現はあまり適切とは思えません。（教科書がどう教えているかは知りませんけど）
お礼
ありがとうございます。 おっしゃるように、「図形の回転」に対して「座標軸の回転」と書いたほうがよかった思います。 とくに、x^2+xy+y^2=1のグラフを書くことにおいて、 図形を回転させてxyの項をなくした図形を書き、さらに反回転させる、という書き方、 座標軸を回転させてその新座標上に図形を書くという書き方があると思います。 その場合は後者のほうが手間が少ないというメリットがあると思いますが、分かりやすさや一般性という点からは前者にメリットがあると思っています。
- KonnaMonde
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>座標を回転させているのでしょうか >実質的には同等なのですが、どちらをメインにするかで確実に差異があると思います。 座標と座標軸とをごっちゃにしていませんか？ 図形を回転させるとき、図形の各点の座標を座標軸に対して回転させます。 「図形の各点の座標を回転させる」を「座標を回転させる」と言っていたのを、「図形を回転させる」という風しただけのことじゃないの？ 座標軸は、回転させませんよ。
お礼
ありがとうございます。 やはり、数十年前の高校の教科書では、座標軸の回転が扱われていましたか。 おっしゃるように、図形の回転の式の方が判り易さの点では少し上なので、現代の高校の教科書では主流と思います。 それと拡張した概念において、図形の一次変換という概念はイメージしやすいが、座標軸の一次変換という概念はイメージしにくいからだと思います。 数十年前の高校の教科書で教育を受けた年配の方が、現代の高校生を指導するとき、昔風の座標軸の回転で説明するときがあって、違和感を覚えていた次第です。 大学の教科書は、とくに物理の教科書などでは、座標軸の回転が図示されていて、そちらが主流になっている場合もあるかと思っています。