平面図形の問題

質問

aを正の実数とし、点A(0、a+（1/2a）)と曲線C:ｙ＝ax^2(x≧0)
曲線C上の点で、点Aとの距離が最小となるものをPとする。

（１）点Oの座標と線分APの長さを求めよ。

（２）曲線Cとｙ軸、および線分APで囲まれる図形の面積S(a)を求めよ。

（３）a>0のとき、面積S(a)の最小値を求めよ。
また、そのときのaの値を求めよ。

解ける方がいらっしゃいましたら、
ぜひ解説お願いしたいです!

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

spring135

(1)P(t,at^2)とA(0,a+1/2a)の距離L

L^2=t^2+(at^2-a-1/2a)^2

=a^2t^4-2a^2t^2+(a+1/2a)^2

=a^2(t^4-2t^2)+(a+1/2a)^2

=a^2(t^2-1)^2+1+1/4a^2

これはt^2=1のとき最小値1+1/4a^2をとる。

t≧0よりt=1

P(1,a) APの最小値＝√(1+1/4a^2)

(2)APの式

y-a=(x-1)(-1/2a)/1より

y=a-(x-1)/2a

S(a)=∫（0→1）[a-(x-1)/2a-ax^2)dx=2a/3+1/4a

(3)相加平均相乗平均の関係より

S(a)≧2√(2a/3)(1/4a)=1/3　(最小値)

＝が成り立つのは

2a/3＝1/4a

a=√6/4

お礼

ありがとうございました^^*