１つの項に２つの未知数を含まないように変形するには

質問

次のような、4未知数の連立する方程式が4つあります。
この連立方程式をガウスの消去法で解きたいのですが、θが他の未知数(x,y,z)と同じ項にあって、解けません。
この方程式をガウスの消去法で解けるような、1つの項に未知数が一つの形に変換するにはどのようにすればよいのでしょうか？

式）
cos(θ)*x - sin(θ)*y - P*z + cos(θ)*A - sin(θ)*B - P*C = 0

未知数：θ, x, y, z
定数：A, B, C, P
未知数全てと、C以外の定数（A, B, P)は0を取り得ます。

よろしくお願いします。

回答No.2

bran111

cos(θ)*x - sin(θ)*y - P1*z + cos(θ)*A1 - sin(θ)*B1 - P1*C1 = 0 (1)
sin(θ)*x + cos(θ)*y - Q1*z + sin(θ)*A1 + cos(θ)*B1 - Q1*C1 = 0 (2)
cos(θ)*x - sin(θ)*y - P2*z + cos(θ)*A2 - sin(θ)*B2 - P2*C2 = 0 (3)
sin(θ)*x + cos(θ)*y - Q2*z + sin(θ)*A2 + cos(θ)*B2 - Q2*C2 = 0 (4)

c=cos(θ), s= sin(θ)と置いて(1),(2)を書き換えると

cx-sy=P1(z+C1)+sB1-cA1 (1)'
sz+cy=Q1(z+C1)-cB1-sA1 (2)'

c(1)'+s(2)' ⇒ x=(cP1+sQ1)(z+C1)-A1 (5)
c(2)'-s(1)' ⇒ y=(cQ1-sP1)(z+C1)-B1 (6)

(3),(4)の組は(1),(2)の組において添え字を1→2に変えたものである。したがって同様の計算により

x=(cP2+sQ2)(z+C2)-A2 (7)
y=(cQ2-sP2)(z+C2)-B2 (8)

(5),(7)より

(cP1+sQ1)(z+C1)-A1=(cP2+sQ2)(z+C2)-A2

(cP1+sQ1-cP2-sQ2)z=A1-A2-C1(cP1+sQ1)+C2(cP2+sQ2)

z=[A1-A2+c(C2P2-C1P1)+s(C2Q2-C1Q1)]/[c(P1-P2)+s(Q1-Q2)] (9)

(6),(8)より

(cQ1-sP1)(z+C1)-B1=(cQ2-sP2)(z+C2)-B2

(cQ1-sP1-cQ2+sP2)z=B1-B2-C1(cQ1-sP1)+C2(cQ2-sP2)

z=[B1-B2-c(C1Q1-C2Q2)+s(C1P1-C2P2)]/[c(Q1-Q2)-s(P1-P2)] (10)

(9),(10)において以下の置換を行う。

A=A1-A2, B=B1-B2, P=P1-P2, Q=Q1-Q2, D=C1P1-C2P2, E=C1Q1-C2Q2

これらは定数の変換であって、A,B,P,Q,D,Eも定数である。

(9) z=(A-cD-sE)/(cP+sQ)

(10) z=(B-cE-sD)/(cQ-sP)

⇒　(A-cD-sE)/(cP+sQ)＝(B-cE+sD)/(cQ-sP)

(A-cD-sE)(cQ-sP)＝(B-cE+sD)(cP+sQ)

AQc-APs-DQc^2+PDsc-EQsc+EPs^2=BPc+BQs-EPc^2-EQsc+PDsc+DQs^2

(AQ-BP)c-(AP+BQ)s-QD+PE=0

AQ-BP, AP+BQ, -QD+PEも定数であって、これらをa,b,cとおくと上式は

acosθ+bsinθ+c=0

これは単振動の合成、または加法定理によってまとめることができて

sin(θ+α)=-c/√(a^2+b^2),

α=arctan(a/b)

θ=arcsin[-c/√(a^2+b^2)]-α　　　　　　　　　　　　（11）

この式の右辺は定数である。よってθが求められたことになり、(9)または(10)に代入してzを求め、(7),(8)によりx,yを求めることができる。

お礼

回答頂きありがとうございます！
頂いたθの式に定数を代入した所、符号が逆でしたがただしい答えが求まりました。
符号が逆な理由はまだわかっていませんが、回転行列を作った時に回転する方向を設定し誤ったか、定数のどれかが符号が反転してしまっているか、といくつか考えられることはありますので、いろいろ試してみます。

また、解き方についてもありがとうございました。
特にガウスの消去法による解に拘る必要はありませんでした。
素直に解くことにします。

ありがとうございました！

回答No.1

bran111

>4未知数の連立する方程式が4つあります。

一つしかありません。

補足

説明不足ですみません。（式）のような方程式が4つあるということです。
あと3つも同じ構成で、定数が変わるだけなので省略しました。
4つは以下のとおりです。

cos(θ)*x - sin(θ)*y - P1*z + cos(θ)*A1 - sin(θ)*B1 - P1*C1 = 0
sin(θ)*x + cos(θ)*y - Q1*z + sin(θ)*A1 + cos(θ)*B1 - Q1*C1 = 0
cos(θ)*x - sin(θ)*y - P2*z + cos(θ)*A2 - sin(θ)*B2 - P2*C2 = 0
sin(θ)*x + cos(θ)*y - Q2*z + sin(θ)*A2 + cos(θ)*B2 - Q2*C2 = 0

未知数はθ,x,y,z
定数はA1,A2,B1,B2,C1,C2,P1,P2,Q1,Q2です。
よろしくお願いします。