円に内接する四角形の計量

質問

四角形ABCDが半径65/8の円に内接している。
この四角形の周の長さが44で、
辺BCと辺CDの長さがいずれも13であるとき、
残りの2辺ABとDAの長さ求めよ。

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(__)m

回答No.8

178-tall

#2 は答えが見えたところで時間切れ。その後始末です。

勘定は「分度器 (三角関数表) 」を併用するか否かで分かれますが、「モノサシ」だけの辺比算法に徹してみます。ピタゴラス流なので開平を頻用します。テスト問題らしいけど、結論がわかれば OK の実務的勘定書きとして読み流してください。

弦 BC, CD と(半径 r の) 円中心 O からできる二つの三角形が占拠する中心角αが、二つ分でφ。
>弦 AB, DA と円中心 O からできる二つの三角形の中心角θ1, θ2 は、
>　θ1 + θ2 = 2π-φ …

まず、二等辺三角形 OBC の辺比解析から、
　sin(α) = (BC/r)*√{1 - (BC/2r)^2}
残る二つの三角形の中心角の和 θ1 + θ2 = 2π-2α から、
　sin{(θ1+θ2)/2} = sin(π-α) = sin(α) = 0.96
ピタゴラス流で cos{(θ1+θ2)/2} を求め、半角算式により、
　sin{(θ1+θ2)/4} = √[{1 - cos{(θ1+θ2)}/2 }] = 0.60

>　a + d = 2r*{sin(θ1/2) + sin(θ2/2)} = 4r*{sin[(θ1+θ2)/4] + sin[(θ1-θ2)/4] } = <18>

正しくは、
　a + d = 2r*{sin(θ1/2) + sin(θ2/2)} = 4r*{sin[(θ1+θ2)/4]*sin[(θ1-θ2)/4] } = 18
でした。これから、
　sin[(θ1-θ2)/4] } = 0.38
を得て、積和公式
　sin[(θ1+θ2)/4]*cos[(θ1-θ2)/4] = {sin(θ1/2) + sin(θ2/2)}/2
　cos[(θ1+θ2)/4]*sin[(θ1-θ2)/4] = {sin(θ1/2) - sin(θ2/2)}/2
から、
　sin(θ1/2) = 0.86
　sin(θ2/2) = 0.25
を得る。

各弦長は、
　a = 2r*sin(θ1/2) = 14.00
　d = 2r*sin(θ2/2) = 4.00
…まで、いかにも実務勘定らしい結末でした。

回答No.7

staratras

No.6です。すべて三角形の相似で求めましたが、AEは角BADの2等分線なので、
AB：DA=BE：DE　が成り立ちます。BE:DE=(182/15):(52/15)=7:2 となり、
AB+DA=18 だから、AB=18・(7/(7+2))=14 　
BEとDEの長さが得られたあと、最後の部分はこのように求めることもできます。

回答No.6

staratras

この問題では、四角形ABCDの対角線ACとBDの長さがわかれば、あとは三角形の相似を使ってABとDAの長さが求められます。

添付した図のように座標軸をとり、x軸上にB、Dが、y軸上に円の中心とCが来るように定める。またEは対角線ACとBDの交点。
B(-x.0),C(0,-y),D(x,0)とすると、x^2+y^2=13^2 …(1)　x^2+(y-(65/8))^2=(65/8)^2 …(2)
(1)-(2) より　(65/4)y=13^2 y=52/5,(1)へ代入して　x=39/5 よってBD=2x=78/5

四角形ABCDは円に内接するのでトレミーの定理から
AB・CD+BC・AD=AC・BD 13(AB+DA)=AC・78/5 ここで四角形の周長が44だからAB+AD=44-(BC+CD)=44-26=18
したがって、AC=13・18・(5/78)=15

添付した図で、同じ印をつけた角は同一または同長の弧に対する円周角ですべて等しい。
△ACB∽△BCEよりAC:BC=BC:EC,15:13=13:EC よって　EC=169/15,AE=15-EC=56/15
△AED∽△BECよりAE：ED=BE：EC,よってED・BE=AE・EC=56・169/225　…(3)
これとED+BE=BD=78/5 …(4)　(3)(4)を解くと、BE=182/15,ED=52/15
△ABE∽△DCEよりAB：DC=BE:CE よって　AB=DC・BE/CE=13・(182/15)/(169/15)=13・182/169=14
AB+DA=18 だから　DA=18-14=4

図の対称性から、四角形の頂点Aは半径65/8の円周上でy軸に関して対称の位置にあるときも題意を満たす。この場合は、AB=4,DA=14 となる。

答え　AB=14 DA=4　または　AB=4 DA=14

お礼

トレミーの定理、
使えそうだ！と思ってどうしたらよいのか
迷っていましたので、
とてもすっきりしました！

ありがとうございました^^*

回答No.5

noname#232491

no.4です
（修正です）

＞トレミーの定理より
＞AC + BD = AB×CD + BC × DA

正しくは
AC × BD= AB×CD + BC × DA
で　ACとBDを掛けます。

お礼

トレミーの低利、
使えそうだなと思っていましたが
分からずじまいでした。

とてもスッキリしました^^*
ありがとうございました♪

回答No.4

noname#232491

（がんばれば三角関数、平方根抜きで解決してしまう問題でした）
（これが上手な解説かどうかは　自信が無いですが）
x^2+y^2=(65/8)^2の円を描いて

頂点Cを（-65/8 ,0)に置いて考えると

頂点Bと頂点Dは　
B (91/40 , 39/5)
D (91/40 , -39/5) となり
対角線BDの長さが　78/5となります 。

対角線ACの長さも求めます。
トレミーの定理より
AC + BD = AB×CD + BC × DA
BC=CD=13 ,
BD=78/5より
AC=13(AB+DA)／(78/5)
AB, DAは未知ですが　AB+DAの値は
（周の長さ）ー（辺BCの長さ）ー（辺CDの長さ）をとるため
44-13-13=18となり
AC=(13×18)／(78/5)=１５　となります。

ACの長さをもとに　頂点Aの位置を求めると
A(595/104 , 75/13)　となります。

A(595/104 , 75/13)
B (91/40 , 39/5)から
２点間の距離を求める事が出来ますので
AB=4
(AD=14)
となります。

（計算は　１３の倍数だらけです）　
（試験問題として　よく出来ている問題です）

回答No.3

178-tall

一部、 <タイプミス> あり。訂正。

弦長 a, d は、
　a = 2r*sin(θ1/2)
　d = 2r*sin(θ2/2)
だが、
　a + d = 2r*{sin(θ1/2) + sin(θ2/2)}
　= 4r*{sin[(θ1+θ2)/4] + sin[(θ1-θ2)/4] }
　= <18>
これから、sin[(θ1-θ2)/4] の値がわかり、チョン。

回答No.2

178-tall

要点だけ…。

>四角形ABCDが半径65/8の円に内接している。
>この四角形の周の長さが44で、辺BCと辺CDの長さがいずれも13であるとき、

弦 BC, CD と円中心 O からできる二つの三角形は合同らしい。
占拠する中心角φは、余弦算式から逆算可。
(r とは 半径 65/8 のこと)
　φ= 2*arccos(1 - (1/2)(13/r)^2) = 3.71 (rad　以下では省略)

>残りの2辺ABとDAの長さ求めよ。
(AB = a, DA = d とでもする)

弦 AB, DA と円中心 O からできる二つの三角形の中心角θ1, θ2 は、
　θ1 + θ2 = 2π-φ = 2.57　　　…(*)
弦長 a, d は、
　a = 2r*sin(θ1/2)
　d = 2r*sin(θ2/2)
だが、
　a + d = 2r*{sin(θ1/2) + sin(θ2/2)}
　= 4r*{sin[(θ1+θ2)/4] + sin[(θ1-θ2)/4] }
　= 13
これから、sin[(θ1-θ2)/4] の値がわかり、チョン。

どうやら a=14, d=4 。切りのよい問題の作り方を知りたい。

回答No.1

suko22

だらだら答えを書いてもわかりにくいと思うので、考え方を説明しますね。
(1)△ＡＢＤと△ＣＢＤでＢＤ＾2＝の余弦定理
(2)内接する四角形の性質からcosをcos∠Ａであらわす。
たとえば∠Ａ+∠Ｃ＝180°だから、
cos∠Ｃ＝cos（180°-∠Ａ）＝-cos∠Ａ
(3)円周角の定理から∠ＢＯＤを∠Ａを使ってあらわして、△ＢＯＤでまた余弦定理を利用。ここで半径の値を使います。

ＡＢ＝ｘとおくとＤＡ＝18-ｘ

△ＡＢＤでＢＤ＾2＝の余弦定理・・・※1・・・右辺はｘとcos∠Ａの式
△ＣＢＤでＢＤ＾2＝の余弦定理・・・※2・・・右辺はcos∠Ａの式

この2式からｘとcos∠Ａの式ができます。・・・※4

次にcos∠Ａとどうやって求めるか考えます。

円の中心をＯとすると、円周角の定理より∠ＢＯＤ＝2∠Ａより、cos∠ＢＯＤ＝cos2∠Ａ
（図のかきかたによっては∠ＢＯＤ＝360°-2∠Ａとなりますが、cos∠ＢＯＤ＝cos（360°-2∠Ａ）＝cos2∠Ａで結局同じになるのでここではどちらで考えても結論は同じです）
△ＢＯＤでＢＤ＾2＝の余弦定理・・・※3・・・右辺はcos∠Ａの式（∵2倍角の公式を利用）

※2と※3で等式を作るとcos∠Ａだけの式になり、それを解くとcos∠Ａの値が決まります。

これが決まったら、※4にその値を代入するとｘの2次方程式になり、それを解くと求めたい長さが求まります。

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余弦定理などの基本公式を使うだけです。
ただ計算が複雑になるので、うまくやる必要があります。
途中は計算しないでそのままにしておき、必要に応じて計算するのがいいと思います。

それから、このやり方で行くと、最後のｘの式をまとめるときにとても計算に苦労します。それを回避したければ、最初にＡＢ＝ｘとおかないで、ＡＢとＤＡのまま計算すると、ＡＢとＤＡの積がでます。仮定からＡＢ+ＤＡ＝18なので、かけて？、足して18になるような2次方程式を考え、それを解けばＡＢ，ＤＡが比較的ましな計算量で求めることが出来ます。
自分なりに工夫してやってみてください。

お礼

suko22さんの方法でやってみました！

計算は複雑でしたが、
最後にはすっきりした数になって
なんだか安心しています…^^

ありがとうございました^^*