地震による倒壊の計算

質問

地震のゆれによる機械の転倒（倒壊というのか）の計算をしたいと思っているのですが、どなたか教えて下さい。
高さ３．７ｍの機械で重さ６ｔ、重心位置１．３ｍ、設置幅０．８ｍ
重心の横方向の位置は中央にある。前後は長いので倒れない。
というような機械で、震度７の地震に対して倒れるのかどうか、
横向きにかかる力はどれだけか。
専門家の人にとっては簡単な問題だと思いますが、当方知識がなく困っております。
計算方法だけでも、あるいは考え方だけでも教えていただければうれしく思います。

回答No.4

First_Noel

ああなるほど．
単純化されつつも最悪ケースが考慮されたうまいモデル化ですね．
私，がやがやややこしくしてしまってすみませんでした．．．
センスなかったなぁ．．．
私も勉強になりました．

回答No.3

First_Noel

もっと単純化してみました．

地震による機械の最大運動エネルギーが機械を倒そうとすると考えました．
最大加速度をａ，振幅をＡ，振幅周期をω，機械を重心の質点と考える，
回転中心～質点は最初θ0＝atan(1.3/0.4)にあったものが，
θ＝π／２になると倒れるとする（π／２はラジアン表記で，９０度のこと），

質点は地震で，最大速度ｖ＝Ａω＝ａ／ωで動いています．
このとき質点は，Ｋ＝ｍｖ^2／２，の運動エネルギーを持っています．
これが質点をθ＝π／２になるように動かす為に必要なエネルギーは，
質点の位置エネルギーから，Ｐ＝ｍｇＬ（１－sinθ0），となります．
Ｌは回転中心～重心の距離，＝√(0.4^2＋1.3^2）．

倒れるときには，Ｋ＞Ｐとなっている（質点を持ち上げて尚動く）ので，
ｍｖ^2／２＞ｍｇＬ（１－sinθ0）
この式で，ｍを消し，ｇ=9.8m/s，Ｌ，θ0の値を入れてやると，
ｖ＞√（２ｇＬ（１－sinθ0））
ここでｖ＝ａ／ωなので，気象庁のデータから，ある地震の「最大加速度」と「揺れ周期」を
入手してｖを求め，それが上の式を満たせば「機械は倒れる」と言えます．

・・・と，かなりおおざっぱなので妥当性に欠けますが，上記を質点ではなく，
剛体の回転運動に発展させれば，もっと信憑性が出ると思います．

お礼

ありがとうございます。
今までのご教示から、実務的な考え方として、以下の方法を採りたいと考えます。
機械の底面の角を中心として、重心の位置に最大加速度による水平力がかかり機械が傾き、角の鉛直を超えると倒れる。それを防止するためには、まさに鉛直になったときの水平力を支えるロープの強度があればいい。
ロープを機械の上面につけるとすると、角から取付部の距離／重心位置分小さくて良い。
震度７で６００ｇａｌとの記録がある。８００ｇａｌの記録もあるようですので、高い方を取って８００ｇａｌとして、６０００ｋｇの質量にそれが働くものとして最悪（振幅が大きい）８００／９８０×６０００＝４８９８ｋｇの力を受けるため、高さ２．２ｍのところに水平にロープを張って受けるとすると、ルート(1.3^2+0.4^2)/(2.2^2+0.4^2)×4898＝2979　２９７９ｋｇに耐える強度にする。
ということで、かなりおおざっぱになりましたが、大きな間違いはないでしょうか？

回答No.2

First_Noel

震度については，過去，体感震度，
http://wwweprc.eri.u-tokyo.ac.jp/CSS/kaisetsu.html
でしたが，地震計による計測震度に変更されました．
http://wwweprc.eri.u-tokyo.ac.jp/CSS/shindo_new.html
http://wwweprc.eri.u-tokyo.ac.jp/CSS/FigX/kokuji4.gif
http://www.kishou.go.jp/know/shindo/keisoku.html
上記を見ると，揺れの周波数成分毎に強度を求めているようです．
「震度」で評価する場合，過去の地震のデータを参考にして，
運動方程式の右辺が，周波数毎の単振動の総和Σa(ω,t）となりますが，
そこまで詳細にする必要がなければ，
http://www.adep.or.jp/shindo/index.shizuoka.html
の下の方ように適当な最大加速度を選んで，最大加速度のみを考慮すれば
良いと思います．
その場合注意すべきは，物体の固有振動数に合った揺れの場合は共振を起こして，
揺れが大きくなる点ですが，求め方は一番簡単には，
上記最大加速度Ａが角周波数ωで加わる，Ｌ＝（回転中心～重心の距離）の振り子
だと考えることでしょう．

以上はGoogleで「震度　加速度」で検索して見付けました．
加速度の単位galについてはご存知だと思いますので蛇足まで，
http://www.nilim.go.jp/japanese/database/nwdb/html/how-to-use.htm
にありますように，cm/sec2です．

恐らく一番簡単な表記で，
http://www.topic.ad.jp/sice/papers/185/185-1.pdf
の２章に書かれている手法だと思います．
（但し，Ｃ＝０．重力を考慮している．トルク＝力×（回転中心～重心の距離）．）
しかしこれは一般的に解析的に解けないので，数値計算が必要になります．

数値計算を簡単に行うには，「差分法」をＥｘｃｅｌで計算します．
差分法については，
http://www.math.kobe-u.ac.jp/~taka/asir-book-html/main/node30.html
http://www.math.kobe-u.ac.jp/~taka/asir-book-html/main/node50.html
をご覧下さい．

参考URL：

http://www.topic.ad.jp/sice/papers/185/185-1.pdf

お礼

お忙しい中、ありがとうございました。
震度７で６００ｇａｌ程度の水平力が計測された記録が分かってきましたので、この程度で計算したいと思います。

回答No.1

First_Noel

一番簡単なのは，重心に全ての質量がある（質点）と仮定します．
又は剛体の回転の運動方程式を立てます．
どちらにしても，長方形断面の下の端を回転中心として倒れようとすると
思いますので，以下，剛体の場合について，です．

まず慣性モーメントＩを求めます．
仮に断面の左下を回転中心とすれば，
Ｉ＝∫∫√（ｘ＾２＋ｙ＾２）ρｄｙｄｘ，
ρ＝６０００／（０．８×３．７）
０≦ｘ≦０．８，０≦ｙ≦３．７
となります．（ρは奥行きを持った微笑断面の密度，ヨーカンのような形．）

地震での最大加速度をａ（定数）として運動方程式を立てれば，
Ｉ（ｄ＾２θ／ｄｔ＾２）＝６０００×ａ×（１．３／√（０．４＾２＋１．３＾２））
右辺は，加速度の内，回転中心と重心とを結んだ線分に垂直な成分のみを
考慮しています．
θ：機械の底面と床とが為す角度．
今，簡単のために，Ｉ（ｄ＾２θ／ｄｔ＾２）＝Ａ，と書けば，
ｔ（時刻）について２回積分して，積分定数をＣ，Ｄとすれば，
θ＝（Ａ／２Ｉ）ｔ＾２　＋　Ｃｔ　＋　Ｄ
ですが，ｔ＝０でθ＝０，ｄθ／ｄｔ＝０とすれば，Ｃ＝Ｄ＝０です．

次に地震を単振動として，加速度を
ａ（ｔ）＝Ａω＾２×ｓｉｎ（ωｔ）
として，上式の「ａ」の部分をａ（ｔ）に書き換えてやれば，
より現実的になりましょう．ａ（ｔ）の２回時間積分したものは，
ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎ（ωｔ）です．

倒れたかどうかの判定は，重心が底面の端の上を越えたとき，とすれば良いです．

以上，ざっとしましたので，次元確認とかご確認下さい．
と言いますが，上記を元に力学の教科書の方をご参照下さい．．．

補足

ありがとうございます。
震度７が最大どれくらいの加速度になるか、それによって横向きの力はどれくらいかかるか。それが倒れる限界を超えているか。
よく考えると、この点につきるように思います。
この点で、どうでしょうか？
地震と加速度の関係はこちらでも調べてみますが・・・
ちょっと上のご説明についていけないものですから(^_^;)