二項変換の逆変換、反転

質問

n個からk個とる組合せをC(n,k)=n!/k!(n-k)!と書くことにします。

数列a[0],a[1],a[2],…に対して、次のようにb[0],b[1],b[2],…を作る。

b[n]=Σ[k=0,n](-1)^(n-k) C(n,k) a[k]

このとき、

a[n]=Σ[r=0,n]C(n,r) b[r]

であることを示したいのですが、どのように変形していけばよいのでしょうか？

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/BinomialTransform.html
を参考にしたので、書き間違いはないと思います。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

おっと, #3 は b[k] = Δ^k a[0] のところがアウトですね. 順序を逆にして
b[k] = Σ... = ... = Δ^k a[0]
としないと危険.

で, がんばって帰納法でやってみます.
a[n; k] を a の k階 (前進) 差分と定義します. a[n; 0] = a[n], a[n; k+1] = a[n+1; k] - a[n; k] です.
まず努力と根性で b[n] = a[0; n] であることを示します (ここも帰納法).
で, a[n+1; k] = a[n; k+1] + a[n; k] を使い, n に関する帰納法で a[n; k] = Σ(r: 0→n) C(n, r) a[0; k+r] であることを証明します:
n = 0 のときは自明. n = N で OK として n = N+1 のときを考えると
a[N+1; k] = a[N; k+1] + a[N; k] = Σ(r: 0→N) C(N, r) a[0; k+1+r] + Σ(r: 0→N) C(N, r) a[0; k+r]
= a[0; N+k+1] + Σ(r: 0→N-1) (C(N, r) + C(N, r+1)) a[0; r+k+1] + a[0; k]
= C(N+1, N+1) a[0; N+k+1] + Σ(r: 0→N-1) C(N+1, r+1) a[0; r+k+1] + C(N+1, 0) a[0; k]
= Σ(r: 0→N+1) C(N+1, r) a[0; k+1+r].
つまり a[n; k] = Σ(r: 0→n) C(n, r) a[0; k+r] なので k = 0 として
a[n] = a[n; 0] = Σ(r: 0→n) C(n, r) a[0; r] = Σ(r: 0→n) C(n, r) b[r].
b[n] = a[0; n] も符号に注意すれば同じです... 多分.

回答No.4

Tacosan

あ, a[n] と b[n] の途中に k階差分 (k = 1, 2, ..., n-1) をはさめば帰納法でもできるはずです.
b[n] は a[n] の n階差分の初項だから～みたいな感じ.

回答No.3

Tacosan

あえて演算子法で処理してみる:
前進差分演算子を Δ, 前進演算子を E, 恒等演算子を I とします.
Δa[n] = a[n+1] - a[n], Ea[n] = a[n+1]. Ia[n] = a[n] です.
明らかに Δ = E - I, E = Δ + I です.
このように定義すると,
b[k] = Δ^k a[0] = (E - I)^k a[0]
= Σ(r: 0→k) E^r (-1)^(k-r) C(k, r) a[0]
= Σ(r: 0→k) (-1)^(k-r) C(k, r) a[r]
となりますが, 逆に E = Δ + I を使うと
a[n] = E^n a[0] = (Δ + I)^n a[0]
= Σ(r: 0→n) Δ^r C(n, r) a[0]
= Σ(r: 0→n) C(n, r) b[r]
が得られます.

お礼

よくわかりました。
エレガントなご回答に感謝いたします。

無限次行列の逆行列で求めようか、数学的帰納法で求めようか、考えてもうまくいきませんでした。

本当にありがとうございます。

回答No.2

endlessriver

A=Σ[r=0,n]C(n,r) b[r]としてb[r]を代入します。
A=Σ[r=0,n]C(n,r)｛Σ[k=0,r](-1)^(r-k) C(r,k) a[k]｝
この式の中からa[i]の項の係数を求めます。
このとき、始めのΣはr>=iだけとなり（a[i]がない）、つぎのΣはk=iのみとなります。するとその係数Bは
B=Σ[r=i,n]C(n,r)｛(-1)^(r-i) C(r,i)｝です。
ここで(1+x)^n=Σ[r=0,n]C(n,r)x^rをi(<n)回微分してx=-1とすると
0=Σ[r=i,n]C(n,r){r!/(r-i)!}(-1)^(r-i)
となります。この式を定数i!で割ればB=0となります（ただしi<nのとき）。i=nのときはB=1は明白。
以上から結論が得られます。

お礼

本当に本当に丁寧にありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

ん～, b[n] って, a[n] の n階差分?

お礼

b[n] って, a[0],a[1],a[2],… の n階差分の初項だったと思います