三角関数の合成

質問

関数y=asinx+bsinxは、x=π/3のとき最大値6をとる。このとき、定数a、bの値を求めよ。

y=√a^2+b^2sin(x+α)
と変形したり、
x=π/3とy=6を代入して
6=√3/2a+1/2b
の形にしてみたりしたのですが、そこから先に進めず困っています。
どなたかお助けください；；

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

y = a sin x + b cos x, でしょうか?
もしそうなら
・x = π/3 のとき y = 6 より 6=(√3/2)a+(1/2)b,
・x = π/3 のとき y = 6 が最大, つまり y=√a^2+b^2sin(x+α) の最大値が 6 なので 6 = √(a^2 + b^2).
これで a, b が決まりませんか?

補足

おっしゃる通りです；；申し訳ありません…

ありがとうございます!
ただ、a,bは求められたのですが、

y=√a^2+b^2sin(x+α)の最大値が6だとどうして
6 = √(a^2 + b^2)になるのでしょうか??

sin(x+α)はなぜ消えるのですか??

もしよろしければお答え頂けると助かります；；

回答No.5

Tacosan

えと... y = sin x の最大値が 1 というのは常識だと思ってました....
#3 で言われることでだいたい OK ですが, 加えて「sin (x+α) は x+α = π/2 のとき実際に 1 になる」も付ければ完璧.

回答No.4

sanori

再びお邪魔します。
やはり、そうでしたか。
ｙ（ｘ）　＝　ａsinｘ　＋　ｂcosｘ

とりあえず、微分しちゃいます。
ｙ’（ｘ）　＝　ａcosｘ　－　ｂsinｘ

ｘ＝π／３　のとき極値を取るので、
０　＝　ｙ’（π／３）　＝　ａcos（π／３）　－　ｂsin（π／３）
　＝　ａ・１／２　－　ｂ・（√３）／２
よって、
ａ　＝　√３・ｂ　　・・・（あ）

また、
ｘ＝π／３　のとき　ｙ＝６　なので
６　＝　ａsin（π／３）　＋　ｂcos（π／３）
　＝　ａ・（√３）／２　＋　ｂ・１／２

√３・ａ　＋　ｂ　＝　１２　　・・・（い）

（あ）を（い）に代入。
３ｂ　＋　ｂ　＝　１２
ｂ　＝　３
（あ）に代入
ａ　＝　√３・ｂ　＝　３√３

＜確認＞
ｙ　＝　３√３・sinｘ　＋　３cosｘ
ｙ’＝　３√３・cosｘ　－　３sinｘ
ｙ”＝　－３√３・sinｘ　－　３cosｘ

ｙ”（π／３）　＝　－３√３・sinｘ　－　３cosｘ
　＝　－（正の数）　－　（正の数）
　＜　０
よって、ｘ＝π／３　における極値（ｙ＝６）は、極大値。

どっか計算を間違えているかもしれないので、検算してください。

回答No.3

mister_moonlight

＞y=√a^2+b^2sin(x+α)の最大値が6だとどうして6 = √(a^2 + b^2)になるのでしょうか??

sin(x+α)≦1より、y≦√（a^2+b^2）、つまり、yの最大値は　√（a^2+b^2）。
従って、6 ＝ √(a^2 + b^2)。

回答No.1

sanori

こんばんは。

なんか変です。
本当に
ｙ　＝　ａsinｘ　＋　ｂsinｘ　＝　（ａ＋ｂ）sinｘ
ですか？

補足

申し訳ありません；；

y=asinx+bcosx
でした…