関数fが原点で連続

質問

f(x,y) ={ x-y/x+y (x,y)=/(0,0)}
={ 1 (x,y)=(0,0)}

関数fが原点(x,y)=(0,0)で連続かどうかを調べたいのですが、

x = rcosθ
y = rsinθ

を代入する方法でやってみたのですが、rが消えるから連続ではないという回答でいいのでしょうか？

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

rが消えるかどうかは関係ない
f(x,y)=(x-y)/(x+y)
として、
x=0のとき
f(0,y)=(-y)/(y)=-1
y=0のとき
f(x,0)=x/x=1
={ 1 (x,y)=(0,0)}
y軸での極限が一致しないから

f(rcosθ,rsinθ)=(rcosθ-rsinθ)/(rcosθ+rsinθ)
=(cosθ-sinθ)/(cosθ+sinθ)
=(cosθ-sinθ+sinθ-sinθ)/(cosθ+sinθ)
=1-2sinθ/(cosθ+sinθ)
=1-2tanθ/(1+tanθ)
で、原点に接近する方向で、極限が異なり、かつθ=0、πを除き１でもないから