力積について

質問

問題をまず書いてみます。

なめらかな水平面上にx軸、y軸を取り、質量mの小球Aと質量2mの小球Bを用意する。まず、小球Bを原点Oにおき、次に、小球Aをx軸にそって一定の速さvで進ませて、原点Oの小球Bに衝突させた。衝突後、小球Aはx軸と60°をなす向きに速さv/2で進み、小球Bはある速さで水平面上を進んだ。

という問題ですが、この後「衝突後のBの速度とBの進む向き」を求めます。

ここで僕の持っている参考書にこれと同じような問題でベクトルを使った解法が載っています。
というのは、「弾性衝突であるから力学的エネルギーが保存して―(1/2)mv^2＝(1/2)m(v_a)^2+1/2m(v_b)^2」（v_aとv_bはそれぞれＡとＢの速さを表します。もちろんこの例ではＢの重さがmになっていたりと若干違いますが...）となる。この式を両辺を2m倍すると、三平方の定理を表す形になり、あとはこの式に従って直角三角形を書けば、角度などの条件により未知数や向きが分かる」というものでした。

ところが上の問題でやるとうまくいきません。まずこれって弾性衝突なんでしょうか？解説には「力積が打ち消され、とか、外からの力積が０」などと書いていますが、まず力積というものが理解できていないようです。上の問題では力積があるように見えますし、力積があると運動エネルギーが失われエネルギーは保存されないと思っていたのですが...

もし分かりにくければまた詳しく説明しますので、アドバイスよろしくお願いします。
ちなみにこのベクトルの方法でなぜか角度までは出ますが、Bの速さだけ√6/4vと間違いになります。正解は√3/4vです。

回答No.8

First_Noel · ベストアンサー

＃４さまへの補足ですが，ベクトル図とおっしゃってますが，
衝突後の速度（方向と大きさの２成分を持ちます）が分からなければ
ベクトルは描けません．
つまり，運動エネルギー保存が保証されなければ，三平方の定理云々は成立しません．
参考書で三平方の定理を使って解いているのは，逆三角関数を使わない，又は，
逆三角関数での回答が許されていないからです．
（ｖｘとｖｙを求めておいて，では角度は？と問われて，
　θ＝tan^-1（vy/vx）です，と答えて正解とみなされない場合．）

＞途中で『外からの』力積を受けなければ

要は外力が玉に作用していないと言うことです．
力積は，力×衝突時間，なので，外力が０なのか，外力が作用する時間が０なのか，
どちらかは分かりませんが，ともかく外力が作用していないので，
「２つの玉の衝突前後で運動量保存が成立する」
と言うことです．

＞では「弾性衝突」と【明記されていない】問題で、
＞たとえ『外からの』力積がなく、内部の力積が消去
＞されても力学的エネルギーの保存は保証されない、
＞ということになるのでしょうか？

その通りです．

外力が働かなくても，衝突前後での運動エネルギー（正確には玉の重心の動く速度＝
「重心の並進エネルギー」）の総和が保存されない場合があります．
で，失われた運動エネルギーは何処へ行ったかと言うと，
玉の微小な変形（これは玉の微小な振動になります，弾性エネルギー）や，
玉の温度上昇（玉の原子が揺すぶられる＝温度上昇する，熱エネルギー），
或いは玉は質点ではなく有限の大きさを持つ剛体なので，玉の回転エネルギーになります．
（回転エネルギーも運動エネルギーのひとつですが，通常，並進速度には作用しないので，
　並進速度だけを考える場合には損失分になります．）

ぶよんぶよんした水風船を投げるとき，腕が与えるエネルギーは，水風船の並進の他，
ぶよんぶよんにも分配されてしまいます．このような状態です．

或いは，隕石が惑星に衝突する場合，よく真っ赤なきのこ雲のようなものが立ち上ります
（実際には見たことはないのですが）が，これは隕石の速度がいきなり惑星に当たって０に
なるので，運動エネルギーが一気に熱エネルギーになって温度が上昇することを表しています．
温度が急激に上昇しますから，空気が断熱膨張します，でも周りの空気が広がろうとする
空気を広がらせまいとします，その結果，衝撃波が発生して木々をなぎ倒すことになります．

又は，スペースシャトルが地球に帰還するとき，真っ赤に熱くなりますが，これも
空気の運動エネルギー（実際動いているのはシャトルだがシャトルから見れば空気が動いている）が
シャトルに当たって速度が急激に落ち，その差分が熱エネルギーになるからです（空力加熱，と言います．）

話がそれました．戻しますと・・・

これらは玉内部での出来事ですので，外から見える衝突前後の並進速度（ベクトル）に
注目する場合には「損失分」となります．

従って，運動量は衝突前後で保存されますが，
衝突前後での玉の運動エネルギーは保存されない，となります．

＞内部の力積が消去されて

これは「ＡとＢは接するように衝突したのではない」と言うことです．
もしＡがＢに接するように衝突すると，Ｂはその場で回転するのみ，になります．
問題には「Ａは６０度の方向へ・・・」と書いていますから，この問題では，
意味の無い冗長な一文句だと私は思いますが．．．

弾性衝突とは，衝突によって運動エネルギーが弾性エネルギーや熱エネルギーに
全くならないか，或いは現実的に弾性（振動）・回転・熱エネルギーが無視出来るほど
小さい場合，です（後者は空気分子同士の衝突などで近似的に成立する場合があります）．

但し，「玉」ではなく「質点」と書いている場合には，
質点は大きさを持たないので振動も回転も，又，内部原子の振動もないので，
弾性衝突と解釈しても差し支えないと思います．

お礼

詳しい説明ありがとうございます！
よく分かりました！

回答No.9

ency

No8 First_Noel さんに補足します。

「物理のテスト問題」という観点から、どのように考えるべきかを見てみます。

衝突問題に限らず、2物体の運動を考える問題では、まず最初に「運動量保存則」を考えます。
ただし、この場合外力が作用していないことを確認してください。

そして、その2物体の運動を考える場合、保存力しか作用していないことを確認した上で「力学的エネルギー保存則」を適用するわけです。
衝突の問題では「完全弾性衝突」がこれに相当します。

今回の場合、問題文中に「完全弾性衝突」という言葉がない時点で「力学的エネルギー」を適用することはできません。
また、未知数が2つ (衝突後のBの速さと向き) であることから、運動量保存則だけで解くことができます。
逆にいえば、衝突後のAの速さと向きが与えられている時点で、力学的エネルギーは保存していないと考えることもできます。

…こんな説明で、わかっていただけるでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
やはり弾性衝突の明記が無い限り衝突問題で力学的エネルギーは保存しないのですね。
これで納得できました！

回答No.7

keyguy

誤解を招かないための書きなおし

これってどうやってみればいいのでしょうか？:

質量mの物体が速度ベクトルvで静止している質量Mの物体にぶつかり
質量mの物体の速度ベクトルがv'となり質量Mの物体の速度ベクトルがVになったとすると
運動量保存則により
m・v=m・v'+M・V
です
これより
V=(v-v')・m/M
となります

もし計算して得たVを使って

(1)m・|v|^2/2=m・|v'|^2/2+M・|V|^2/2ならば完全・・・

または

(2)v=-(v'-V)ならば完全・・・

v^2=(v,v)とベクトルの二乗は内積で定義される慣例ですから書きなおさなくても良いのですが念のため

回答No.6

keyguy

これってどうやってみればいいのでしょうか？:

質量mの物体が速度ベクトルvで静止している質量Mの物体にぶつかり
質量mの物体の速度ベクトルがv'となり質量Mの物体の速度ベクトルがVになったとすると
運動量保存則により
m・v=m・v'+M・V
です
これより
V=(v-v')・m/M
となります

もし計算して得たVを使って

(1)m・v^2/2=m・v'^2/2+M・V^2/2ならば完全・・・

または

(2)v=-(v'-V)ならば完全・・・

回答No.5

First_Noel

＃２，＃３です．

＃４さまのご回答を見て，オハズカシイ限りです・・・すみませんでした．

お礼

何度も投稿いただきありがとうございます。
どうやら僕が間違っているのは「エネルギーが保存されるかどうか」の部分に焦点があるようです。
さらにお聞きしたいのですが、もしよろしければお手数ですが解答お願いします。

e＝1「（完全）弾性衝突」であれば力学的エネルギーは保存します。これは途中で『外からの』力積を受けなければ、内部の力積は消去されています。では「弾性衝突」と【明記されていない】問題では、たとえ『外からの』力積がなく、内部の力積が消去されても力学的エネルギーの保存は保証されない、ということになるのでしょうか？どうやら力積の打消し合いだとかを適当に覚えてしまったためにどの状況で力学的エネルギーが保存するのか理解出来てないように思えます。
長くなってしまいましたがよろしくお願いいたします。

回答No.4

ency

私も計算してみましたが、(√3/4)v になりました。

で、衝突後のBの速度の向きですが、

tanθ = -1/√3

となりますので、x軸に対して θ=-30°の向きになります。

お礼

ありがとうございます！
ところでこれは僕が質問文に示してあったベクトル図で解かれたものですか？それとも普通に運動量保存の連立で解かれたものでしょうか？

回答No.3

First_Noel

＃２再びです．

＞正解は√3/4vです。

計算してみました．こうなります．

＞ちなみにこのベクトルの方法でなぜか角度までは出ますが

Ｂの速度成分が分かると，三角関数の逆で角度が求まります．
vbxとvbyを用いれば，Ｂの進む方向（ｘ軸となす角をθ）は，
tanθ = vby / vbx
これより，
θ = atan (vby/vbx)
となります．
高校生でしょうか？
するとatan（アークタンジェント，逆正接）は習ってないかと思いますが，
まぁこんな感じで求まります．

因みに衝突後のＢの速度成分は，（3v/8，√3v/8）となりますので，
（ｘ成分）：（ｙ成分）＝３：√３
となるので，電卓か数表を用いるか，テイラー展開するかしないと，
ぱっとは角度は求められないです．

回答No.2

First_Noel

弾性衝突かどうか明記されていないので，
運動エネルギーの保存は保証されません．

この問題は，ｘ方向，ｙ方向の速度成分ごとに
運動量保存を用いて解けます．

余談ですが，こういう考え方が役立ちます．
・分からないのは，衝突後のＢの速度成分vbx,vbyの２つ．
・成分毎に運動量保存の式を書くと２つ書ける．
・不明パラメータの数と方程式の数が等しいので，これで解ける．

回答No.1

keyguy

質量mの物体が速度ベクトルvで静止している質量Mの物体にぶつかり
質量mの物体の速度ベクトルがv'となり質量Mの物体の速度ベクトルがVになったとすると
運動量保存則により
m・v=m・v'+M・V
です
これより
V=(v-v')・m/M
となります
完全弾性衝突かどうかは運動エネルギーが衝突前後で減らないかどうかをみるか
衝突前後で相対速度が等しいかどうかを見れば良い

お礼

ありがとうございます！
ところで最後「完全弾性衝突かどうかは運動エネルギーが衝突前後で減らないかどうかをみるか
衝突前後で相対速度が等しいかどうかを見れば良い 」とありますが、これってどうやってみればいいのでしょうか？エネルギーが減ってるかどうかを見分ける、相対速度が等しいかどうかを見分ける、これは運動量の式で一度答えを出してからなら分かりそうですが、参考書のやりかただと、初めから運動エネルギーが保存されていることが分かっていなければベクトル図による解き方はできないようです。
ちょっと長くなってしまいましたがよろしければお答えお願いします。