四則の証明

質問

偶数 ＋ 偶数 ＝ 偶数

偶数 ― 偶数 ＝ 偶数

これらの証明は左辺のそれぞれから２を括りだしてやれば２＊(□＋△)の形に出来るから右辺は偶数(引き算も同様)とやればできますが、５―３＝２で５、３はそれぞれ互いに素ですがその和(差)は(ここでは２です)互いに素になるんでしょうか？

つまり

ａ＋ｂ＝ｃとした時にａはｂ互いに素であり また、ａ、ｂ、ｃはそれぞれ互いに素なのか？ということです。

ａ、ｂが互いに素ならば偶数のときのように括りだすことができないので(１は例外)ｃは必然的に上記のような関係になりそうな気がするんですが

ご協力願います。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

はい、0 < a,b が互いに素な整数ならば、a + b = c (または a - b = c) のとき、a,b,cは互いに素になります。

a と c が公約数 p > 1 を持つと仮定すると、a = pq, c = prである整数 q,r (q≠r) が存在します。このとき、

a + b = c ⇔ b = c - a ⇔ b = pr - pq = p(r - q)
a - b = c ⇔ b = a - c ⇔ b = pq - pr = p(q - r)

より、p は b の約数となりますので、a,b が互いに素であることに矛盾します。よって、a と c の公約数は存在しません。同様に b と c の公約数も存在しませんので、a,b,c は互いに素です。

ただし、a,b,cに1が含まれる場合も、上では互いに素と言っていますので、それは許してください。

回答No.3

kumipapa

#2です。
１行目、0<a,bの条件は不要でした。
とにかく、a,bが互いに素なら、cもa,bと公約数（1より大）は持てないということで、ご理解いただければ・・・。

お礼

きれいな証明ありがとうございます。

理解することができました、ありがとうございます。

回答No.1

unazukisan

質問の意図がよくわからないのですが。
最初の式で偶数を問題にしているのに、なんで５－３＝２って奇数が出てくるんですか？
数字はなんでもいいのですか？
また、ａとｂが互いに素の時って、かなり限られた数字になると思いますけど。
単に、ａ，ｂ，ｃの数が互いに素になるかを聞きたいのですか？

補足

単にａ、ｂ、ｃが互いに素かどうかを知りたいだけです。

５―３＝２は偶数の話とは関係なくａ、ｂ、ｃの具体例をあげてみただけです。