証明問題

質問

a,b∈Rに対してa・b=log(10^a+10^b)
と定義する。（logは常用対数）
(1)a,b,c∈Rについて(a・b)+c=(a+c)・(b+c)を示せ。
(2)x・x=aのとき　xを√aと定めるとき、不等式
　√a・b>(a+b)/2
　を示せ。

(1)は
左辺=(a・b)+c=log(10^a+10^b)+c
右辺=(a+c)・(b+c)=log{10^(a+c)+10^(b+c)}
=log10^c+log(10^a+10^b)
=log(10^a+10^b)+c
より
左辺＝右辺

(2)は
√a・b-(a+b)/2>0
を示すんですよね？
問題の「x・x=aのとき　xを√aと定める」
の意味もよく分かりません。

よろしくお願い致します。

回答No.1

fusem23

(1)は合ってると思います。

(2)では、x を √a に置き換えてみましょう。
√a・√a=log(10^√a+10^√a)=a
ここから、√a= の形に変形できます。

補足

回答ありがとうございます。
√a・√a=log(10^√a+10^√a)=a
⇔log2+√a=a
⇔√a=a-log2
となり、
√a.b=(a-log2)・(b-log2)=log{10^(a-log2)+10^(b-log2)}
=log(10^a+10^b)-log2
となったのですが、
√a・b-(a+b)/2>0
はどのように示せば良いのでしょうか？