量子力学

質問

量子力学の問題です。
V=-V0 (x>-L/2)
V=0 (x<-L/2) という一次元階段型ポテンシャルを考える。

このとき、接続点（x=-L/2)の左右での、確率密度の流れを検討せよという問題です。

左右で、確率密度の流れは、同じだと私は考えていますが、それを計算で確認しています。

ですが、接続条件を用いて、解きましたが、定数がうまく定まりません。

よろしくお願いします。

回答No.5

hitokotonusi · ベストアンサー

まず、

入射側は入射粒子の他に境界で反射してくる粒子がいる可能性があるので、
波動関数は入射粒子と反射粒子の重ね合わせになる。

透過側は透過して進行方向に進む粒子は当然あるが、
戻ってくる粒子が存在することは物理的にあり得ないので、
透過して前方に進む粒子の波動関数だけになる。

という事を確認。

これで未定係数を含んだ一般解を作り、境界での連続条件により係数を決める。
このときに、原点が0でなければe^[±ik(x-a)]の形の解を仮定するといいことがあるかも。
(もっとも、原点0で計算してあとで座標をシフトした方がめんどうがない。)

一般解が出たら係数が決まらなくても流れの密度を定義通り計算してみると、多分いいことがある。

補足

ということは、電子が左から右に行くことを考えて、
下の補足の波動関数Ψ1を、Ψ1=Aexp(-ikx)+Bexp(ikx)にすればよいということですか？
入射側のポテンシャルが高くても反射するんですね。イメージできなかったです・・・

流れの密度は、入射側でj=ih/2m(|B|^2-|A|^2)と定数だけで書けるということは出しています。他の領域でもそうです。　やはり、波動関数をx軸方向に＋L/2ずらして考えてもいいんですね！その方が簡単ですが、ずらさなくてもできるはずですよね。

よろしくお願いします。

回答No.6

hitokotonusi

実際に手を動かせば、あとは簡単な計算が残ってるだけだというのはすぐわかるはずですけど、これ以上何が必要ですか？

計算して詰まっているところまで書いてください。

最終的に絶対値になることが導けてるなら、e^{iδ}型の因子は結果に影響を与えないこともわかっているでしょうしね・・・・

お礼

分かりました。ありがとうございました。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.3です。
pcからじゃないので数式は書きません。

波の連続性は境界での波動関数の微係数も同じにならないといけません。
取り敢えずここまで。

補足

下の補足の接続条件のΨについている’は微分を意味しています。
今は、１次元で考えています。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.2の人と同じ疑問で、階段型だとどの位置の波数を求めるのかはっきりしません。

クローニッヒペニーモデルのような箱形モデルであれば、調和振動子としてエネルギー準位を決定できますが、連続的に考えたいのであれば自由電子(伝導帯)の縮退したような準位を考えたいのでしょうか？

前の質問でも言いましたが、電子のエネルギーの遷移は外部(原子核や他の電子以外)からエネルギーを印加しないとしません。

Eが0からV0に変わる境界で、電子にエネルギーの授受があるわけではありません。
あくまで、電子が入っていられる、与えられた箱、容器です。

従って、波数を決定するk^2=2mE/h^2のEは電子が持っているエネルギーであって、問題文にあるようなポテンシャルとは違います。

与えられたポテンシャルは、波動方程式を解くときのポテンシャル項に割り当てます。

質問者様は、なんのエネルギーのことを言っているか、もう少し熟慮してみてください。

補足

No.2とNo.3の回答を踏まえて、左から右に行く電子を考えて、
x<-L/2の領域では、
Ψ1=Bexp(ikx)
x>-L/2の領域では、
Ψ2=Dexp(ikx)
と波動関数を考えて、あとは、接続条件を考慮すればよいですか？

また、右から左に行く電子を考えると、
x<-L/2の領域では、
Ψ1=Aexp(-ikx)
x>-L/2の領域では、
Ψ2=C'exp(-ikx)+D'exp(ikx)
と波動関数を考えて、あとは、接続条件を考慮すればよいですか？

接続条件：Ψ1(-L/2)=Ψ2(-L/2) Ψ'1(-L/2)=Ψ'2(-L/2)

よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi

１　波動関数の一般解の形を考え直す。
左から粒子が入ったとき、境界の右側で右から左に向かう粒子はありますか？
また、エネルギーよりポテンシャルが大きかったとき、＋無限遠の存在確率はどうなってますか？

２　流れではない確率密度を計算し、係数間の関係を求める。
入射粒子の係数を仮にAとすると、それ以外の係数をAの何倍かで求めます。

３　確率の流れの密度の定義を確認して、正しく計算。
上の２の結果を使えば答えが出ます。答えはエネルギーの大小で異なる結果になります。

補足

大事な情報が抜けていました。v0は正の定数です。

回答No.1

eatern27

「定数」とは何の事ですか？

補足

Aexp(ikL/2)+Bexp(-ikL/2)=Cexp(isL/2)+Dexp(-isL/2) と-Aik　exp(ikL/2)+Bik exp(-ikL/2)=-Cis exp(isL/2)+Dis exp(-isL/2)をみたす。　A,B,C,Dの事です。

　E>0で　k^2=2mE/h^2、　 　E>-V0でs^2=2m(V0+E)/^2 (V0>0)です。

　k=Sが言えれば、簡単ですが・・・　よろしくお願いします。