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断熱変化＆Poissonの法則についてわかりません。。。
状態A(p1,v1,t0)から状態B(p0,v2,t)まで断熱変化したとして、熱力学第一法則を用いて、 Poissonの法則 pv＾γ＝const. を導く方法がわかりません！ テストで出そうなので、勉強していたら壁にぶち当たりました！お願いします、誰か教えていただけないでしょうか？
- spider1984
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編集中にミスってしまいました。 （なんて間抜けな…） 下のは気にしないでください。 状態が 圧力Ｐ体積Ｖ温度Ｔから 圧力Ｐ＋ΔＰ体積Ｖ＋ΔＶ温度Ｔ＋ΔＴに変化したとすると、（ただし変化は微小とします） ＰＶ＝ｎＲＴ (Ｐ＋ΔＰ)(Ｖ＋ΔＶ)＝ｎＲ(Ｔ＋ΔＴ) となるので２つの方程式の差をとって、 ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝ｎＲΔＴ となります。 これは断熱変化なので、 ０＝ｎＣｖΔＴ＋ΔＷ ですね。（Ｃｖは定積モル比熱） ところで今は微小な変化を考えているのですから、その間の圧力変化を無視すると、 ΔＷ＝ＰΔＶです。 これを先ほどの式に代入してやると、 ０＝ｎＣｖΔＴ＋ＰΔＶ この式を整理すると ＰΔＶ ｎΔＴ＝－－－－ （はじめの横棒はマイナスです） Ｃｖ となり、この式をさらにはじめの式に代入して、 ＰΔＶ ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝－Ｒ－－－ Ｃｖ 両辺をＰＶで割って整理すると Ｃｖ＋Ｒ ΔＶ ΔＰ －－－－×－－－＋－－－＝０ Ｃｖ Ｖ Ｐ となります。 またＣｐ＝Ｃｖ＋Ｒ Ｃｐ γ＝－－－ Ｃｖ より、これらの値に置き換えてさらに両辺を積分してやると ｄＶ ｄＰ γ∫－－－＋∫－－－＝ｃｏｎｓｔ Ｖ Ｐ よって γｌｏｇＶ＋ｌｏｇＰ＝ｃｏｎｓｔ さらに両辺の指数をとるとポアソンの法則が得られます。
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- nabla
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補足で「t＜t0 となる」とおっしゃっているのは断熱膨張の時ですか？ 以下断熱膨張と仮定します。 使う式は先ほど導いたばかりのポアソンの法則です。 Ｐ×Ｖ^{γ}＝ｃｏｎｓｔ この式にＰＶ＝ｎＲＴを当てはめる事を考えます。 Ｐ×Ｖ^{γ}＝ＰＶ×Ｖ^{γ－１} ＝ｎＲＴ×Ｖ^{γ－１} ところがよくよく考えるとｎとＲは定数ですね。 （気体分子の出入りはないのでｎも変化しません） よってＴ×Ｖ^{γ－１}＝ｃｏｎｓｔ という法則も得られます。（こいつもポアソンの法則と呼びます） それではこの変形したポアソンの法則を使ってみましょう。 ｔ０×ｖ１^{γ－１}＝ｔ×ｖ２^{γ－１} ですね。（ただし断熱膨張なのでｖ１＜ｖ２です） この式をちょっといじってやると、 ｖ１ ｔ＝ｔ０×(－－－)^{γ－１} ｖ２ ｖ１ いま－－－＜１ かつγー１＞０ですから ｖ２ ｖ１ (－－－)^{γ－１}＜１です。 ｖ２ 従ってｔ＜ｔ０となります。 断熱圧縮の場合はｖ１＞ｖ２とすればほぼ同様に議論できます。
お礼
断熱膨張とも何も書いていませんでした。ですのでかなり迷ってしまいました。 けど、かなり参考になりました。ありがとうございます！
- nabla
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状態が 圧力Ｐ体積Ｖ温度Ｔから 圧力Ｐ＋ΔＰ体積Ｖ＋ΔＶ温度Ｔ＋ΔＴに変化したとすると、（ただし変化は微小とします） ＰＶ＝ｎＲＴ (Ｐ＋ΔＰ)(Ｖ＋ΔＶ)＝ｎＲ(Ｔ＋ΔＴ) となるので２つの方程式の差をとって、 ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝ｎＲΔＴ となります。 これは断熱変化なので、 ０＝ｎＣｖΔＴ＋ΔＷ ですね。（Ｃｖは定積モル比熱） ところで今は微小な変化を考えているのですから、その間の圧力変化を無視すると、 ΔＷ＝ＰΔＶです。 これを先ほどの式に代入してやると、 ０＝ｎＣｖΔＴ＋ＰΔＶ この式を整理すると ＰΔＶ ｎΔＴ＝－－－－ Ｃｖ となり、この式をさらにはじめの式に代入して、 ＰΔＶ ＰΔＶ＋ＶΔＰ＝－Ｒ－－－ Ｃｖ 両辺をＰＶで割って整理すると Ｃｖ＋Ｒ ΔＶ ΔＰ －－－－×－－－＋－－＝０ Ｃｖ Ｖ Ｐ となります。 またＣｐ＝Ｃｖ＋Ｒ Ｃｐ γ＝－－－ Ｃｖ より、これらの値に置き換えてさらに両辺を積分してやると ｄＶ ｄＰ γ∫－－－＋∫－－－＝ｃｏｎｓｔ Ｖ Ｐ よって γｌｏｇＶ＋ｌｏｇＰ＝ｃｏｎｓｔ さらに両辺の指数をとるとポアソンの法則が得られます。
お礼
なるほど！とてもわかりやすく説明していただいてありがとうございます！
お礼
何度も修正ありがとうございます☆
補足
あと補足なんですが、 状態A(p1,v1,t0)から状態B(p0,v2,t)まで変化させた場合、 t＜t0 となる明確な理由もわかりません。 もしよければお願いできますか？何度も申し訳ありません。。。