三角形の合同条件

質問

私は現在高一なんですが、三角形の合同条件に少し疑問があります。三角形の合同条件といえば、
・３辺が全て等しい
・２辺とその挟む角が等しい
・１辺とその両端の角が等しい
ですけど、この２つ目と３つめに疑問があるんです。習ったときは何とも思わなかったんですけど、わざわざ、「挟む角」「両端の角」である必要は無いと思うのですが…。
例えば、１辺が同じで、他の角２つを適当に取って等しくしたら、三角形は一つに決まりますよね？

回答No.4

fuuraibou0 · ベストアンサー

貴方は何か勘違いしていますね。例えば、三角形ＡＢＣにおいて、ＡＣ＝１０ｃｍにとって、

∠ＡＢＣ＝９０°、∠ＡＣＢ＝６０°の三角形と、
∠ＡＢＣ＝３０°、∠ＡＣＢ＝６０°の三角形は、明らかに大きさが違います。

貴方が云われるように、１辺が同じで、他の角２つ（６０°と３０°）を適当に取って等しくした場合、三角形は２つできますよ。

お礼

回答ありがとうございました。これだと相似になるんですね？

回答No.5

Meowth

・２辺とその挟む角が等しい
が２辺と１角が等しい
だと2辺ABにたいして等しい角がA,B,Cの3通りあって
どれが等しいかで3通りの三角形ができます。
１つは合同、他の２つは(一般には）合同でない。
・１辺とその両端の角が等しい
が1辺と2角が等しい
にすると、2角が等しいで相似の三角形になりますが、
対応する辺により３つの三角形ができます。
長さが等しいのが、たとえば、ABとA'B’が対応すれば合同、
A'C'　B'C'が対応すれば、一般には合同でないただの相似
になります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

Quattro99

#2です。
「1辺と両端の角」は1辺と2つの角の対応関係が同じであればよく、「1辺と一端の角と対角」でもいいと思いますが、「1辺と一端の角と対角」がわかれば「もう一端の角」もわかるので、結局おなじことになります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

Quattro99

「両端の角」と指定しているのは、「1辺と2角が等しい」とした場合、その1辺と2角との関係が不明になってしまうからだと思います。「一つの辺が長さ1、角度は50°、60°（当然、残りは70°）」とわかっても、「長さ1の両端の角が50°と60°の三角形」の場合もあれば、「長さ1の両端の角が50°と70°の三角形」の場合もあります。

「挟む角」の方も同様に、合同でない場合が起こりえます。
「ABが2、BCが3、∠Cが30°」では、図を書こうとすると、まずBCをおき、∠Cが30°になるように点Cから直線を引き、点Bを中心として半径2の円と先ほど引いた直線との交点を点Aとすることになりますが、交点は2つ出来てしまい（交点が1つ、つまり接するのは∠Aが90°のときだけ）、同じ条件で合同ではない三角形があることがわかります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#47894

例えば、
AB＝３、∠A＝50°、∠B＝70°　の三角形と、
AB＝３、∠A＝50°、∠C＝70°　の三角形は
合同にはなり得ないと思いますが、どうですか？

次に、２辺と「挟む角」ではない角で、合同を証明すると、変なことになるという例を示します。
∠A=50°、∠B＝50°の三角形は、CB=CAの２等辺三角形になりますが、
∠ABD＝30°となるように、辺AC上にDをとると、三角形BCDは２等辺三角形になりますね？
このとき、三角形ABCとABDにおいて、
AB＝AB（共通）、BC=BD（三角形BCDが２等辺三角形）、∠BAC＝∠BAD（共通）
で、ABC≡ABD　？
ABCは２等辺三角形ですが、ABDは２等辺三角形ではありませんね？
２辺と「挟む角」ではない角で、合同を証明したから、変なことになったわけです。

お礼

回答ありがとうございました。確かに最初の例では合同にはなっていないですね。すっきりしました。