三角形の合同条件についての質問です

質問

三角形の合同条件で、２つの辺と１つの角を利用する条件は
「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」です。
しかし、角の位置は、分かっている２辺の間でなくても必ず合同になる場合があります。

添付データの図１のような場合がそれです。
図２のように、分かっている２つの辺のうち、
長い方の辺の端の角が分かっている場合、三角形は２通り考えられますが、
図１のように、短い方の辺の端の角が分かっている場合、
三角形は１通りに決定できると思います。

このことを合同条件の文として記述すると、次のようになるでしょうか。
「２辺と、その短い方の辺の端の角がそれぞれ等しい」
または、
「２辺と、その長い方の辺の対角がそれぞれ等しい」

このような三角形の合同条件が教科書等で紹介されていないのには、
何か理由があるのでしょうか。
確かにこの条件は条件文も冗長であり、よく知られている３つの合同条件に比べると美しさに欠けるものだと思います。
しかし、様々な三角形の合同の証明問題を考えるとき、
他の３つの条件には当てはまらないが、
この条件には当てはまる箇所が等しいと分かる場合もあるはずです。
そういう意味では、４つ目の合同条件として認められてもよいのではないかと思うのですが…。

いずれにせよ、このことについて議論された記事等を、私はこれまで見たことがありません。
yahoo知恵袋にも同様の質問をしましたが、満足で着る回答をいただけませんでした。
詳しくご存知の方がいらっしゃいましたら、ご回答をお待ちしています。

回答No.7

naniwacchi

#2です。

先の回答では「定量的」だったのですが、
図形的にこうだなあと思っていたこともあるので書いておきます。

特に a＞bのときについてなのですが、
点C（辺a（辺BC）と辺b（辺AC）の交点）から半径：bの円を描くと、
辺AB上に交点が現れます。
これが、「2とおり」となる図形的な理由です。

逆に a＜bのときはこの円と辺AB上との交点は現れないので、
1とおりしかないことがわかります。

余弦定理を使う方は、計算（場合分け）が少しややこしいです。
上記の方が、直感的でわかりやすいかもしれません。

回答No.6

yanasawa

外国で、合同条件になっている国があります。
調べてみたらいかがでしょうか。

回答No.5

noname#107596

連続になりますが、＃４です。

＃２様のご回答を見て思ったのですが、

＞cは 2次方程式の解として与えられますが、
＞辺の長さ関係によって正の解が1つになったり、2つになったりします。
＞あと、角Bが鈍角になると、a＜bのときしか解が存在しないことになります。

の部分ですが、ご質問の内容は「a<bのときの合同になる条件」についての
ことであり、a<bのときｃの正の解は一つになる(検算しました)ので、
問題は

＞・「条件付き」になってしまうこと

が重要なのだと思われます。

お礼

やはり、
「この合同条件は正しいには正しいが、
辺の長さの大小関係がが分からないと使用できないため、
他の合同条件に比べると、汎用性に欠ける」
ということでよいのでしょうか。

回答No.4

noname#107596

まず、
＞「２辺と、その短い方の辺の端の角がそれぞれ等しい」
＞または、
＞「２辺と、その長い方の辺の対角がそれぞれ等しい」
は条件の個数が、

辺の長さ×２、辺の長さの大小、角の大きさ

と4つになるので、条件が3つの他の合同条件と同列の
「４つ目の合同条件」とはできません。

3つの合同条件＋辺の長さの大小がわかった場合の条件、といった形でしょうか。

教科書に全ての情報は載せられないので、
「辺の長さによらない合同条件」というものを
最低限教えるもの、より基本的な(と文科省が考えた)ものとして
（もしくは「長さによらない」ものを「合同条件」と呼ぶとしている）
教えているのだと思われます。

＞このことについて議論された記事等を、私はこれまで見たことがありません
数学に関する何かをしている人ならこのことはわかっているでしょうし、
一般の人にとって教科書に載っていない算数・数学(テスト・受験に関係ない)は
興味ないでしょうからね。
私が知っている教科書に何を載せるかで話題になったのは
太平洋戦争時の歴史くらいです。

また、
＞様々な三角形の合同の証明問題を考えると…
例えば大学入試などで、高校までの数学で習わない方法を使えば
一瞬で解ける問題が出てしまったりすることもありますが、
習った方法のみでも解けるようには作られています。
現実世界での問題でも同様で、これを知っていれば簡単に解決できる
といったことはありますが、全ての知識を得ることは不可能なので、
義務教育では基礎的なことを学び、それ以上の知識が欲しければ
「より高度な教育か独学で」学べということでしょう。

私の経験では高校物理の先生がある単元で、
「この方法のほうが、より原理的で問題も解きやすい」と、
教科書と違う解法を教えたりしていましたし、
教科書が全てではない、ということで。

ちなみに「２辺と、その短い方の辺の端の角「のどちらか」がそれぞれ等しい」
の方が良いでしょうね。

お礼

大変詳しいご回答ありがとうございます。
＞数学に関する何かをしている人ならこのことはわかっているでしょうし、
＞一般の人にとって教科書に載っていない算数・数学(テスト・受験に関係ない)は
＞興味ないでしょうからね。
実は私、中学校の教員なのですが、久しぶりに中学２年生を担当して、ふとこの疑問に突き当たった次第です。

確かに教科書に載っていることが全てでないのはもちろんなのですが、
２辺と１つの角を利用する条件として「２辺とその間の角」だけしか教科書に載っていないない理由を生徒にどう説明するのがよいのか悩み、
今回の質問をいたしました。
みなさんの議論を参考に生徒に説明できれば、と思っています。

回答No.3

debut

辺の長さに関して、合同条件の中にまた証明が入らなければなら
ないので、即使えるとは言いがたいですが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
たしかに、実際に証明を記述するとなると、辺の長さについても触れないといけないので、
簡単に使えるものではないですよね。

回答No.2

naniwacchi

なかなか興味深い内容だと思いました。

「確実に」合同であると言い切れない「条件付き」になってしまうという点で、
4つ目にはなれないと思います。

余弦定理の式を用いることで定量的に説明がつきます。
2辺の長さ a, bと一つの角 Bについて、
余弦定理を用いて辺の長さ cを表すことを考えます。
（図中では角「c」と書かれていますが、通例にあわせることにします。）
これらの条件から、cの長さが「確定」すれば合同条件となるはずです。

cは 2次方程式の解として与えられますが、
辺の長さ関係によって正の解が1つになったり、2つになったりします。
あと、角Bが鈍角になると、a＜bのときしか解が存在しないことになります。
（図を描けば、明らかですが）

・「条件付き」になってしまうこと
・解が 2とおりになることがあること
から、やはり合同条件としては難しいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私は中学レベルの考察しかしていなかったのですが、
証明方法まで考えていただきありがとうございます。

回答No.1

k298756f

ぼくただの高校生ですが、回答してもいいですよね。
まずあなたのいっている合同条件はまちがっています、「２辺と、その短い方の辺の端の角がそれぞれ等しい」では、（短いほうの端の角）というとふたつあることになるのでなりたたないし、三形の合同条件とはどんな長さの三角形でも成り立つようなものではないとだめなので、図１の場合の三角形でしかなりたたないものなので合同条件として認められないでしょう。「２辺と、その長い方の辺の対角がそれぞれ等しい」というのもおなじこと、当然四つ目の合同条件としては認められないと思います。まぁだから、そもそも三角形の条件をしぼってでしか出せないのは合同条件として認められないということですよ・・・・
だけどこのほうほうはテクニックとして使えるんじゃないんですか！！？？

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
高校生の方でもこういう議論に参加してくれて嬉しい気持ちがしました。
色々学問に興味をもっていってくださいね。