三角形の合同条件と、相似条件の関係

質問

三角形の合同条件は、相似条件から導かれると思います。
ご指摘いただくと有難いです。
(1)２つの三角形の３つの辺がそれぞれ等しいとき、
３つの辺の比が１：１であるので、相似条件より、
２つの三角形は相似になります。
よって、対応する３つの角が等しくなり、
２つの三角形は合同となります。
(2)２つの三角形の２つの辺がそれぞれ等しく、間の角が等しいとき、
２つの辺の比が１：１かつ、間の角が等しいので、
２つの三角形は相似になります。
よって、対応する３つの角は等しくなり、
対応する３つの辺の長さの比も等しくなります。
対応する２つの辺の比が１：１であったので、
対応する残りの辺も等しくなります。
よって、２つの三角形は合同となります。
(3)２つの三角形の対応する１つの辺と、両端の角がそれぞれ等しいとき、
2組の角が等しいので２つの三角形は相似となり、
対応する３つの角、対応する３つの辺の長さも、前と同様にして等しくなり、
２つの三角形は合同となります。
以上です。

回答No.7

ferien · ベストアンサー

ANo.5ANo.6です。補足について

難しく考えすぎているような気がします。

合同条件（３つのうちのいずれかが成り立てば）→合同
相似条件（３つのうちのいずれかが成り立てば）→相似
を示せばいいだけです。
相似であることを示すために合同条件を使うのは間違いです。

「合同である」を「相似である（相似比１：１）」とみなして、
相似条件を使って証明することはできます。
その場合も、たとえ同じ図形でも、相似条件を使えば、相似であることを、
合同条件を使えば、合同であることを証明したことになります。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.6

ferien

ANo.5です。　補足について

＞具体的には、「条件」の使い方が間違っていました。
＞きちんと書くと、「相似条件」→「三角形が相似」
＞が成り立つならば、「合同条件」→「三角形が合同」が成り立つという事です。
＞つまり、「相似条件」→「三角形が相似」だけで十分ではないかということです。

ANo.5で取り上げた記述の部分に付いては、条件の使い方は間違っていないと思います。

合同条件は３つなので、仮定が３通りで場合分けしてあるし、相似であることを示すためには、相似条件の３つのうちのいずれかが成り立つことを言わなければならないので、その点もきちんと書かれていると思います。
ただ、後半部分「相似」→「合同」は成り立たないので、どのように書いても間違いです。、

補足

どうもありがとうございます。
確かに、相似条件→三角形が相似　であること、
合同条件→相似条件、が成り立ちますので、
合同条件→三角形が相似であることはいえます。
また、三角形が相似→三角形が合同は、一般に
いえませんので、合同条件→三角形が合同は、
いえないと感じられます。
しかし、最初に、３つの合同条件が仮定されていますので、
三角形が相似、かつ、三角形のそれぞれの辺の長さ
の比が１：１であることがいえ、そのため、三角形が合同
であることがいえます。
つまり、図で表すと、次のような事をしております。
　　　　　　　合同条件（仮定）
　　　　　合同条件→相似条件
　　　　　　　相似条件　　　　相似条件→相似（仮定）
　　　　　　　　　　　　相似　　　　　　　　　　　　　　　　合同条件（仮定）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合同
　　　　　合同条件→合同（ここで、合同条件の「仮定」はなくなる」
　　　　　（相似条件→相似）→（合同条件→合同）（ここで、相似条件の
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「仮定」はなくなる）

回答No.5

ferien

ANo.3です。

（１）～（３）とも合同条件（仮定）→相似条件（結論）ならば正しいので、
よって～以降を消せば正しい証明になると思います。

＞(1)２つの三角形の３つの辺がそれぞれ等しいとき、
３つの辺の比が１：１であるので、相似条件より、
２つの三角形は相似になります。

＞(2)２つの三角形の２つの辺がそれぞれ等しく、間の角が等しいとき、
２つの辺の比が１：１かつ、間の角が等しいので、
２つの三角形は相似になります。

＞(3)２つの三角形の対応する１つの辺と、両端の角がそれぞれ等しいとき、
2組の角が等しいので２つの三角形は相似となります。

でいいと思います。

補足

どうもありがとうございます。
質問者です。
私の説明不足でありました。
具体的には、「条件」の使い方が間違っていました。
きちんと書くと、「相似条件」→「三角形が相似」
が成り立つならば、「合同条件」→「三角形が合同」が成り立つという事です。
つまり、「相似条件」→「三角形が相似」だけで十分ではないかということです。

回答No.4

asuncion

ていうか、

＞(1)２つの三角形の３つの辺がそれぞれ等しいとき、

この時点で、この三角形は合同であることがわかります。
「三辺相等」

＞(2)２つの三角形の２つの辺がそれぞれ等しく、間の角が等しいとき、

この時点で、この三角形は合同であることがわかります。
「二辺挟角相等」

＞(3)２つの三角形の対応する１つの辺と、両端の角がそれぞれ等しいとき、

この時点で、この三角形は合同であることがわかります。
「二角挟辺相等」

よって、

(1)に関する
＞３つの辺の比が１：１であるので、相似条件より、
＞２つの三角形は相似になります。

(2)に関する
＞２つの辺の比が１：１かつ、間の角が等しいので、
＞２つの三角形は相似になります。

(3)に関する
＞2組の角が等しいので２つの三角形は相似となり、

これらの議論は冗長です。

回答No.3

ferien

三角形が「合同である」　ならば　「相似である」　は言えますが、
「相似である」　ならば　「合同である」　は言えません。
「合同」は、対応する辺の比が１：１となる相似の特別な場合です。

だから、残念ですが、上の証明は３つとも成り立ちません。

回答No.2

asuncion

おっと失礼。typoがありました。

＞合同でなるならば

合同で『あ』るならば
ですね。

回答No.1

asuncion

2つの三角形が合同でなるならば、その2つの三角形は相似である。

これにつきると思います。
「逆は必ずしも真ならず」という真理のとおり、
相似であっても合同ではない三角形はいくらでもありますね。