3の倍数であることの(再）

質問

自分で理解したつもりでしたが、考えているうちにわからなくなったので教えてください。

3の倍数ということを基準に考えると、すべての自然数は3k,3k±1とあらわされる。これはすべての自然数は(1)3で割り切れる数(2)3で割って1余る数(3)3で割って2（-1)余る数　というように分けられるからである。

らしいですが、(3)がわかりません。なぜあまり2とあまり-1が同じなのでしょうか。具体例か何かを挙げて教えていただけるとうれしいいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

edomin · ベストアンサー

５を３で割ったら２余ります。これは、６－１＝５です。
８を３で割ったら２余ります。これは、９－１＝８です。
１１と３で割ったら２余ります。これは、１２－１＝１１です。
（以下略）
要するに、２余るということは、あと１あれば３の倍数になると言うことです。（余りの２と１を加えると３になるから。）これは、３の倍数より１少ないと言うことと同じです。

補足

２余るということは、あと１あれば３の倍数になると言うことです。

とありましたが、この一言ですべてが解決しました。すごく簡単なことでした・・・・本当にありがとうございます。

回答No.3

Mr_Holland

また、お会いしましたね。
具体的な数字で既に説明がなされていますので、ここでは文字を使った説明をして見ます。

3k-1の余りが2になることを示せれば、よろしいですよね。
3k-1を次のように変形します。

3k-1＝ 3(k-1+1)-1 ＝ 3(k-1)+3-1 ＝ 3(k-1)+2

ここで、3で割って余りが2になる整数を3j+2と置いて、上の式の右端の辺と比べて見ますと、

3j+2 ＝ 3(k-1)+2　∴ j=k-1

とjがk-1に対応していることが分かります。
まとめると、3k-1は、3で割ったときの商がk-1(=j)、余りが2になる整数になっています。

cを他の表現（3k, 3k+1）で表したときと違い、3k-1で表したときは商が一つ小さくなりk-1になっているので混乱してしまったのだろうと思います。
しかし、扱う対象が整数なので、2で余る整数をkで表してもjで表しても、どちらも（－∞、∞）の間の整数値をとるので、ｋとｊの集合全体では、不都合は何も生じないのです。

補足

何度も何度も本当にありがとうございます。

回答No.1

noname#58440

8を3で割ると2余り2
8を3で割ると3余り-1

8=3*2+2
8=3*3-1