中２数学です

質問

「直角二等辺三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａを通る直線に、頂点Ｂ，Ｃからそれぞれ垂線ＢＨ、ＣＫをおろす。このとき、△ＡＢＨ＝△ＣＡＫであることを証明しなさい。」という中２の長男の問題が解けません。

回答No.4

asuncion · ベストアンサー

△ABHと△CAKにおいて、
△ABCが直角二等辺三角形であることから、AB = CA …… (1)
∠BAH + 90° + ∠CAK = 180°であるから、
∠BAH + ∠CAK = 90° …… (2)
△ABHは∠AHBを直角とする三角形であるから、
∠ABH + ∠BAH = 90° …… (3)
(2)(3)より、∠ABH = ∠CAK …… (4)
よって、残りの角である∠BAH = ∠ACK …… (5)
(1)(4)(5)より、1辺とそれをはさむ角が互いに等しいので、
△ABH ≡ △CAK

回答No.3

syutokou

質問文では「＝」となっていますが「≡」として証明を進めます。
（この場合の「＝」とは面積が等しいことを示しますので。）

△ABHと△CAKにおいて

仮定より

AB=CA―(1)
∠BHA=∠AKC―(2)

ここで、∠ABH=90°－∠BAH、∠CAK=90°－∠BAHより、
∠ABH=∠CAK―(3)

(1)(2)(3)より　直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABH≡△CAK

解答のポイントは直角三角形の合同条件を使う部分です。
垂線を引いて三角形を作る場合、このパターンが多くなります。
まず二等辺三角形である点から斜辺が等しいことが分かるので、あとは「他の１辺」か「１つの鋭角」のどちらが等しくなるのか考えて行きます。

回答No.2

j-mini27

「直角二等辺三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａを通る直線」
というだけでは、頂点Ａを通るどのような直線か特定できません。

頂点Ａを通り
　・辺ＢＣに平行な直線
　・角Ａを二等分する直線
のいずれかであれば合同条件を満たしますが、
それ以外の場合は合同ではありません。

質問内容から特定できるのは
　二等辺三角形で頂角がＡなので、ＡＢ＝ＡＣ……(1)
　ＢＨ、ＣＫは垂線なので、∠ＢＨＡ＝∠ＣＫＡ＝90°……(2)
だけで、合同条件には足りません。

回答No.1

rafrance

[証明]
まず、△ABCは直角二等辺三角形なので
　　　AB＝AC
　　　∠BAC=90°　ー(1)
これより、
　(180-90)÷2=45
　　∠ABC=∠ACB=45°　ー(2)
頂点Aを通る直線をADとする。
問題文から
　　　BH⊥AD
　　　CK⊥AD　}ー(3)
(3)より、∠AHB=∠AKC=90°　ー(4)
　(2)(4)より、
　180-(45+90)=45
∠BAH=∠CAK=45°　ー(5)
△ABHと△CAKにおいて
　　　ADは共通である。
　　　AB=ACである。

よって、一辺とその両端の角が等しいので、△ABH=△CAKである。

どうでしょう？
最近やってないので頭の端から引っ張りだしてきてみましたが。。。