小五の算数の問題です

質問

正方形に内接する円の半径が5cm

正方形の外周は何cmか?　という問題ですが、答えは40cmとすぐ解ります。

しかし、何故40cmなのか、数学的な立証が出来ません

解らないところは、円と接する直線の接点と、円の中心を結んだ直線は、円に接する直線と直角に交わる。という事です

これは数学的にどうやって証明するのでしょうか?

また、小五にどうやって説明すれば良いでしょうか?

回答No.3

shuu_01 · ベストアンサー

僕が小学生の頃は、算数でいろいろつまづき、先生、親を困らす質問してましたが、今回のような疑問は持ちませんでした。小学５年生の子供からの質問なのでしょうか？ 完全主義なのかもしれませんね

｜　円と接する直線の接点と、円の中心を結んだ直線は、
｜　円に接する直線と直角に交わる。という事です
｜　これは数学的にどうやって証明するのでしょうか?

その説明はいろんなサイトにありますが、２つ程、紹介します

【１】　円と接線
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/mathself/figures8.pdf

　円の接線は、中心と接点を結ぶ線分（半径）と垂直に交わる

これは定理というより事実に近い。その理由は、接点が1 点で交わることにある。円は直径に
対して|もちろん半径の左右に対しても|左右対称であるから、接点の右にも左にも交点はない。
もし交点があれば左右ともになければならないが、そうすると接点を含め3 つの交点ができてしま
う。円と直線は高々2 つの交点しか持たないので、それはあり得ない。すると接線も半径に対して
左右対称に交わっている。このことは交わる角度が平角の半分|すなわち直角であるということで
ある。　

【２】　平面図形
円の接線　説明　
http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/6/07/001a.htm

円の接線に関しては，以下の2つのことが成り立ちます。

１． 円 の接線 は，接点 を通る半径 に垂直になる。

２． 円 の周上の点 を通る直線 が半径 に垂直ならば，

　　 はこの円の接線になる。

お礼

（１）のリンクで、一応(^_^;)解りました

ご回答ありがとうございました

となると、質問の問題は、円に接する直線は、その接点と円の中心を結ぶ半径と直角に交わることを、数学的に立証出来なければ、解けたとは言えません。

これは、たぶん小学校では教えてないですよね

この点は、別のカテゴリーで質問してみます

回答No.2

kiki_s

No.1さんの回答通り「円の直径＝正方形の一辺の長さ」が答えなんですけどね。

私の解釈は
＞円と接する直線の接点と、円の中心を結んだ直線は、円に接する直線と直角に交わる。

「直線と直角に交わる」ですから、
正方形の一辺（今回は右辺方向）の直線は正方形の右辺に対して直角という事になります。

逆に考えると、正方形の右辺の中心から正方形の左辺の中心に直線を引くと、
その直線は円の中心を通過する事になります。
ということは、直線と直角に交わる接点を基準に正方形の辺を上部と下部に分解すると、
その寸法は、正方形の一辺の半分という事になります。

水平方向で考えていますが、垂直方向でも同じです。

「正方形に内接する円」ということですから、
内接する円の半径をＲとすると その円に外接する正方形の１辺の長さは円の直径の２Ｒになりますよね。
半径が5cmですから、2×5(cm)で10cm。
正方形は４辺ですから、10cm×4(辺)で40cmとなります。

回答にはなっていないかもしれませんが。

お礼

直角に交わる。ということを数学的に証明できれば、この質問は解決します

回答者さまの回答だと、直角に交わるが前提条件となって、その後の展開はその通りですが、何故直角に交わるのか?の説明がありません

回答No.1

trajaa

数学的？
小五に？

円の直径＝正方形の一辺の長さでは駄目なの？

お礼

円の直径=正方形の一辺長さ　

これは正解ではありますが、正解となるには、直径と正方形の一辺が平行で、接する辺と直角に交わっていなければなりません

これは、どうしてそうなるのか、説明できますか？