微分方程式です

質問

連続の投稿ですいません。

y''''－ｙ''＝０の解を求めたいです。
（ｙ''''は４回微分という意味です）
よろしくお願いします。

回答No.1

128yen · ベストアンサー

y=e^(λx)とおくと （eのλx乗という意味です）

y''''=λ^(4)e^(λx)
y''=λ^(2)e^(λx)

これらをy''''-y''=0に代入して

λ^(4)e^(λx) - λ^(2)e^(λx) = 0

(λ^(4) - λ^(2))e^(λx) = 0

e^(λx) = 0ではないから、λ^(4) - λ^(2) = 0

λ^(2) (λ^(2) - 1) = 0

λ^(2) (λ - 1)(λ + 1) = 0

よって λ = 0、1、-1

y=e^(λx) に代入して、y1=1、y2=e^(x)、y3=e^(-x)

求める解は、これらの線形結合で表すことができるので

y = A + B・e^(x) + C・e^(-x)

お礼

わかりました！
どうもありがとうございます。

回答No.3

oshiete_goo

Ｎｏ．１の回答は重解の扱いに不備があって，結果が違ってしまっているので，追加
回答です．

＞λ^(2) (λ - 1)(λ + 1) = 0
＞よって λ = 0、1、-1

これは
λ = 0（２重解），1，-1
であり，一般解は，２重解λ = 0に注意すると
y = A + Bｘ　+　Ｃ・e^(x) + Ｄ・e^(-x)
となります．

与式は　y''''－ｙ''＝０　より，特解は不要（０でよい）なので，これが求める解
です．

回答No.2

guiter

128yen さんの回答に少し付け足しです。

ご質問の微分方程式は４回の微分方程式なので
一般には４つの任意定数が出てくるはずです。

まず、t = y'' とおくと
　t'' - t = 0
となります。この微分方程式の一般解は
　t = A*e^x + B*e^(-x)
です。
したがって、
　y'' = A*e^x + B*e^(-x)
となるので、両辺を２回 x で積分することにより
　y = A*e^x + B*e^(-x) + C*x + D
を得ます。

お礼

わざわざありがとうぞざいます。
ポイントを差し上げたいのですが、もう締め切ってしまったもので・・・
今度何かあったらまた助けて下さい。
よろしくお願いします。