常微分方程式です

質問

（１）　y'＝a^2ーy^2 [y(0)＝0とする]
この問題は変数分離形で、途中まで解けてるはずですが、
条件にあるｙ(0)＝0　の意味がわかりません。
僕が途中まで出した解は
(1/2a)・log(a^2-y^2)＝x+C C:積分定数　
です。この先を教えてください。

もう１問お願いします　
（２）y^3・y''＝１
y''は２回微分です。

よろしくお願いします

回答No.5

nubou · ベストアンサー

２・ｙ’・ｙ”＝２・ｙ’／ｙ＾３・・・（ａ）
の両辺を積分すると
（ｙ’）＾２＝－１／ｙ＾２＋Ａ・・・（ｂ）
（理由は置換積分でも良く（ｂ）を微分すると（ａ）になるからでも良い）

回答No.4

oshiete_goo

No.2の者ですが, (2)は全くの誤りでした. お詫びして撤回させてください．
示唆を下さったnubouさんに感謝いたします．

回答No.3

nubou

（２）y^3・y''＝１

ｙ’・ｙ”＝ｙ’／ｙ＾３の両辺を積分する

補足

すいません。
もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo

(1)y'＝a^2－y^2 [y(0)＝0とする]
変数分離形として解くと
dy/dx=-(y^2-a^2)
dy／(y^2-a^2)=-dx
(1/2a){1/(y-a) - 1/(y+a)}=-dx
(1/2a)log{(y-a)/(y+a)}=-x+C (Cは積分定数)
log{(y-a)/(y+a)}=-2ax+2aC
(y-a)/(y+a)=exp(-2ax+2aC)=Aexp(-2ax) (ただし 定数A=exp(2aC))
これを整理する．
y-a=(y+a)Aexp(-2ax)
y{1-A・exp(-2ax)}=a{1+A・exp(-2ax)}
y=a{1+A・exp(-2ax)}/{1-A・exp(-2ax)} （Aは任意定数）
となり, 初期条件y(0)=0よりA=-1
よって
y=a{1-exp(-2ax)}/{1+exp(-2ax)}=a{exp(ax)-exp(-ax)}/{exp(ax)+exp(-ax)}
つまり y=a*tanh(ax)
ただし, tanh(ax)=sinh(ax)/cos(ax)={exp(ax)-exp(-ax)}/{exp(ax)+exp(-ax)}
は双曲線関数(定義より sinh(x)={exp(x)-exp(-x)}/2 など).

となるようです. 本当かどうかお確かめ下さい.

(2)y^3・y''＝１
与式より y≠0 なので y^3で両辺を割って
y''=１/y^3=y^(-3)
y'= (-1/2)1/y^2 +A
y = (1/2)1/y +Ax+B=1/(2y) +Ax+B
ただし A,B は任意定数

となりそうですが, 結果には責任を負えませんので，ご自分で確認ください．

回答No.1

uyama33

条件は初期値を表します。

X=0 のときに　Y=0

となるということです。

したがって、X,Y　に０　を代入して

積分定数　Ｃ　の値が
決まってしまいます。

その値を　Ｃ　に代入して

Ｙ＝。。。
の形にすればよいと思います。