指数関数

質問

指数関数で、どうして底が負ではいけないのでしょうか。グラフはかけないのでしょうか。
高校生です。

回答No.17

kts2371148

以下のようにすれば、３次元ですが、グラフを描くことは可能です。
例えば、i を虚数単位として、

x + yi = (-1)^z = e^(iπz)
（x,y,z は実数）

とすると、z軸を中心とする、
ばねのように渦を巻いた形のグラフになります。

ただし、

n が奇数ならば、
　x + yi = (-1)^z = e^(inπz)

が成り立ちますので、実際には１つのばねではなく、
無限個のばねができます。

これ以上のことが知りたければ、
質問者さんがどの程度の知識を持っておられるかを補足下さい。
例えば、
　e^(iπ) = -1 という美しい公式がある
　e^(ix) = cos(x) + i sin(x) という公式がある
　複素数に 1 + i をかけることは、複素数平面上では、
　　　４５度回転させて長さを√２倍することになる
といったことを知っているかどうかで、
説明の方法が違います。
（どれも知らない場合でも、心配しなくていいですよ。）

回答No.16

tarame

「変数ｘに対してｙの値が決定するとき、ｙをｘの関数という」
底が負の場合、ｘが実数全体のときはｙが定義できないｘが出てきます。
したがって、ｘが実数全体のときは「関数」と呼べないわけです。
「指数関数」と呼ぶからには、定義域ｘの値全体に対してｙが決まらなければなりません。
定義域を実数全体にしたときにｙが決定するのは底が正のときだけになります。
定義域を整数全体とかに限定してしまえば、底が負でもｙは決定します。
たとえば、ｙ＝(-2)^x (ただし、ｘは整数）のように…。
でも、これを「指数関数」と呼んでいいのかは、私には分かりません。

回答No.15

noname#181872

どうしてこの式が導き出されるのかが分からなかったもので、
質問者でもないのに何度も質問して申し訳ありません。

#4さん、何度もお答えいただきありがとうございます。

また質問者様も本来の質問からだいぶ脱線させてしまい申し訳ありません。

回答No.14

info22

#4,#7,#8,#11です。
#13さんの質問について
＞(-1)^0.2=(-1)^(1/5)=e^{i(π/5)+i(2nπ/5)}=e^(iπ)=-1(n=2の時)
＞についてなのですが、
＞(-1)^0.2=(-1)^(1/5)=e^{i(π/5)+i(2nπ)}
＞ではないかと思うのですがいかがでしょうか。
オイラーの公式から
-1=e^(iπ)
e^(it)=cos(t)+i sin(t)ですから
この関数は周期2πの関数です。
つまり
e^(it)=e^{i(t＋2nπ)},(n:整数)
t=πとおけば
e^(iπ)=e^(iπ+i2nπ)=cos(π)+i sin(π)=-1
(-1)^(1/5)={e^(iπ+i2nπ)}^(1/5)=e^{(iπ+i2nπ)*(1/5)}
=e^{i(π/5)+i(2nπ/5)}
≠e^{i(π/5)+i(2nπ)}
です。
e^{i(π/5)+i(2nπ/5)}のうちで
実数のものは　e^(iπ)=-1　(n=2の時)
（実数の範囲でyを考える時、yが実数となるのはこの場合だけです。）

虚数（実数でない複素数）のものは以下の共役な2組の複素数
e^(iπ/5)=cos(π/5)+i sin(π/5)　(n=0の時)
e^(i9π/5)=e^(-iπ/5)=cos(π/5)-i sin(π/5)（n=4,-1の時)
以上２つは共役複素数
e^(i3π/5)=cos(3π/5)+i sin(3π/5)（n=1の時)
e^(i7π/5)=e^(-i3π/5)=cos(3π/5)-i sin(3π/5)（n=3,-2の時)
以上２つが共役複素数

で#13さん、納得されましたでしょうか？

回答No.13

noname#181872

質問者様、本当に申し訳ありません。自分自身、気になることは
解決したいものなので質問者様は置きっぱなしになりますが
質問させてください。

#11についてなのですが、上半分は僕もそう思います。

ですが、
(-1)^0.2=(-1)^(1/5)=e^{i(π/5)+i(2nπ/5)}=e^(iπ)=-1(n=2の時)
についてなのですが、
(-1)^0.2=(-1)^(1/5)=e^{i(π/5)+i(2nπ)}
ではないかと思うのですがいかがでしょうか。

私の理解不足なら申し訳ありません。

回答No.12

daikaisan

#6
複素数まで領域を拡大して考えるというこですが、
複素関数として底を負の数として取り扱いが可能になります。

しかし、複素平面では実数軸と虚数軸で構成される平面で２変数の相関関係を描けません。普通の平面座標では、Y,Xの２変数の相関関係を視覚化できますが・・・。

無理やり２つの複素変数の相関関係を表そうとすれば、２種類の複素平面となり、グラフ化・視覚化は無理だと思われます。

こうしたことを私は未経験、取り扱ったことはないので、私の考えがおかしいとお思いの方はご指摘ください。

回答No.11

info22

#4,#7,#8です。
質問者さんが高校生なので複素数の世界へ余り深く入り込むことはしたくなかったため、結論だけでy=(a)^x(a<0)のグラフが実数の範囲でXY座標平面でどうなるかを当初の質問の範囲でとどめておいた方が良いかと思います。
結論は多くの方の回答で全ての実数xに対しては実数のyが存在しないこと。つまりxの飛び飛びの値に対して実数のyが存在すること。ですね。
一般の関数のようにyは連続関数にならない。この意味ではグラフは描けない（多分高校の範囲ではグラフは描けないでいいでしょうね）。
グラフの意味を拡張して、yの実数値が存在する離散的なxについてだけyの値をプロットするのであればグラフは描けるといえるかも知れません（多分大学レベルの数学の範囲）。
複素領域まで踏み込めば、整数でない有理数の実数xに対して、yが複数複素数（共役な複数）の値がでてきます。しかしxに対してyをプロットは出来ず,yの複素平面上の点を複素平面上にプロットが出来ますが、xに対してyの点の軌跡は連続的にならないですね。(無理数のxに対するyが存在しないし、有理数のxだけでxを増加させた時のyの点も無数に存在しますのでyの点を全てプロットすることは不可能ですね。この意味で複素平面でもyをプロットすることは不可能といえるでしょう。

あまり深入りはしたくありませんが#6,#10さんの指定質問がありましたので訂正をかねてA#4の例題での計算の間違いを以下に訂正させていただきます。
#4さん指摘有難うございます。質問者さんからの質問もなく、高校の範囲を超えるので、指摘がなければ深入りせず補足しないつもりでした。
＞(-1)^0.1=(-1)^(1/10)=実数ではない
＞(-1)^0.2=(-1)^(2/10)=1^(1/10)
訂正：実数のyは、(-1)^0.2=(-1)^(1/5)=e^{i(π/5)+i(2nπ/5)}=e^(iπ)=-1(n=2の時)
＞(-1)^0.3=(-1)^(3/10)=(-1)^(1/10)=実数ではない
＞(-1)^0.4=(-1)^(2/5)=1^(1/5)
訂正：実数のyは、(-1)^0.4=(-1)^(2/5)=e^{i(2π/5)+i(4nπ/5)}=e^(i2π)=1(n=2の時)
＞(-1)^0.5=(-1)^(1/2)=±i=実数でない。
＞(-1)^0.6=(-1)^(3/5)=(-1)^(1/5)=-1
訂正：実数のyは、(-1)^0.6=(-1)^(3/5)=e^{i(3π/5)+i(6nπ/5)}=e^(i3π)=-1(n=2の時)
＞(-1)^0.7=(-1)^(7/10)=(-1)^(1/10)=実数でない。
＞(-1)^0.8=(-1)^(4/5)=1^(1/5)
訂正：実数のyは、(-1)^0.8=(-1)^(4/5)=e^{i(4π/5)+i(8nπ/5)}=e^(i4π)=1(n=2の時)
＞(-1)^0.9=(-1)^(9/10)=(-1)^(1/10)=実数ではない。
＞(-1)^1=-1
となります。
ここで,iは虚数単位,-1=e^(iπ)はオイラーの公式を使った変形です。

回答No.10

noname#181872

すみません、質問者様を置きっぱなしの感がありますが、#4さん教えてください。

(-1)^0.1云々が間違っているのは理解していますが、#4さんが#4で示している

(-1)^0.2=(-1)^(2/10)=1^(1/10)

はどうして成り立つのですか？
この式を見ると、

(-1)^0.2=(-1)^(2/10)=((-1)^2)^(1/10)=1^(1/10)
としているように見えたのですが。

単に自分の文章読解能力不足なら申し訳ありません。

回答No.9

ka1234

こんにちは。

指数関数の底が負であるとします。例えば、y=(-1)^xを考えます。

[定義域が実数の時、実数値関数になるか？]
変数 x が実数を動く時、y も実数になれば良いのですが、なりません。
例えば、(-1)^(1/2)=i　これは実数ではないので駄目ですね。

[定義域が実数の時、複素数値関数になるか？]
xが整数の場合は良さそうです。
例えば、(-1)^2=(-1)(-1)=1, (-1)^0=1, (-1)^(-2)=1/(-1)(-1)=1

しかしxが有理数の場合は、駄目そうです。例えば、
(-1)^(1/3)=cos(2n+1)π/3 +isin(2n+1)π/3（n=0, 1, 2）[1]
となります。答えが3個あります。答えが1つに定まりません。

これで「1価関数」ではなくなってしまいました。
では「多価関数」でしょうか？

1/3=2/6ですから、
(-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=1^(1/6)
=cos(nπ/3)+isin(nπ/3)（n=0, 1, 2, 3, 4, 5）[2]

[1]では答えが3個、[2]では答えが6個になります。
答えが1種類に定まりません。（[2]の答えは[1]の答えを含んでいる）

同じ値を代入しても、どの数列を使うかによって関数の値が異なるので、
多価関数にもなりません。ちなみに、w=z^(1/n)であれば、「べき根関数」という多価関数です。
従って
[x∈Rの時、y=(-1)^xはxの関数とはならない]と思います、
ここで、関数というのは連続性や微分可能性などは考えておらず、
一般の「f：x→y」だけを考えています。従って、
グラフは描けない　と思います。

回答No.8

info22

#4,#7です。補足訂正です。
A#4で
＞{(-1)^x}は
＞xが実数ならyは実数となりグラフが描けます。
この表現は後の説明をみてもらえば分かりますが、
正しくありませんので訂正しておきますね。

{(-1)^x}が
実数ならy=y1*y2も実数となりグラフが描けます。

{(-1)^x}が実数となるのはA#4,A#7で書いたように飛び飛びのx(離散的なx)に対してだけですから、y2やyのグラフも連続曲線でなく沢山の点からなるグラフになります。