指数関数

質問

指数関数で、どうして底が負ではいけないのでしょうか。グラフはかけないのでしょうか。
高校生です。

回答No.7

info22

#4です。
a<0に対してy=a^x={(|a|)^x}*(-1)^x=y1*y2
y1={(|a|)^x}
y2=(-1)^x
と変形でき
y1={(|a|)^x}は実数xに対して実数の範囲では実数となります。
一方、y2=(-1)^xについては
実数xに対して
実数の範囲では
xの飛び飛びの実数値に対してだけy2は実数値となります。
xの他の飛び飛びの実数値に対してy2の実数値が存在しません。
(xが無理数の場合、複素数の範囲でもy2が求められません。
xが有理数の場合は、複素数の範囲でy2の複素数値が複数存在します。）

実数は有理数と無理数からなり
有理数と有理数の間に無理数が存在し、無理数と無理数の間に有理数が存在しますので
y2=(-1)^xのxに対するy2の値が実数値になったり、複数個の複素数値になったり、値が存在しない状態になります。
y2=(-1)^xのグラフはxの飛び飛びの値に対してy2の実数値が存在しますが
xの範囲を(1,2)の範囲に限定してもこの間にxの有理数が飛び飛びに無限に存在しますのでy2のグラフを描くことは不可能ですね。

また、xが無理数に対しては y2=(-1)^x　が求められません（存在しない＝定義できない）。
したがって複素数の範囲でも、y2がいつも求まるわけではないですね。
xが有理数の場合（xは整数以外とする）だけ、1つのxに対して、y2として
複数個の複素数値や
実数値と複数個の複素数値
となります。
これをy2=(-1)^xやy=y1*(-1)^x を
実数関数のようにグラフは描けませんね（描けたとして高校の範囲を超える）。
x=有理数（整数は除く）に対して、y2=x_p+i y_p(p=1,2,3,…)と求まったとしてもxによりpの個数が変わりますし、有理数のxも無数に存在しますので複素平面に全ての有理数のxに対してy2を複素平面にプロットすることは不可能ですね。

なお、A#4に関連してのA#6さんの
＞(-1)^0.1=(-1)^(1/10)=1^(1/20)とすれば1行目も実数になってしまいます。
この計算は間違いですね。
(-1)^(1/10)≠1^(1/20)
正確には
(-1)^(1/10)={e^(i(π+2nπ))}^(1/10)(nは整数)
={e^(i(π+2nπ))}^(1/10)=e^{i(π/10)+(nπ/5)}
で
(-1)^(1/10)=(-1)^(2/20)≠1^(1/20)です。
この計算は
(-1)^3=(-1)^(6/2)={(-1)^6}^(1/2)=1^(1/2)=1≠-1
と誤計算と同類です。
間違いの原因は指数部を符号がなくなるように積に分割して符号がなくなるように先にその部分だけを計算してしまったことです。
高校生には難しいですが、A#6の計算が正しくなくそれをもとに理屈を進めておられますのでちょっと一言指摘しておきます。

回答No.6

noname#181872

指数関数で底が負ではないのは、単にそう決まっているから
としか言いようがないのでは？とも思います。

確かにy=a^xでa<0とすると、グラフ化するとき、xが整数でないとプロットできません。
ただ、関数の定義からすると、独立変数xに対して従属変数yが一つ決まる
ということであって、それが離散的になっているだけともとれないかな？
とも思います。関数においてすべての実数xにおいてyが決まる必要はないと思います。
実際に対数関数y=log_a x（a>0）ではx<=0ではyは決められませんし。
ただ、y=a^xでa<0とすると、離散的にxが整数値でしか定義できないものなので
扱いにくいから外していると思うのですが。
逆にこういう式がなんらかの分野で有効に使えるのならa<0も定義する
（この場合なんらかの注釈がつきそうですが）と思います。

ちなみに#4さんの
> (-1)^0.1=(-1)^(1/10)=実数ではない
> (-1)^0.2=(-1)^(2/10)=1^(1/10)
という考えはおかしいと思います。なぜなら
(-1)^0.1=(-1)^(1/10)=1^(1/20)とすれば1行目も実数になってしまいます。
つまり底が負であっても指数が有理数で表現できれば実数として表せることに
なります。実際には底が負ならば指数は整数でないと実数として表現できないですよね。

回答No.5

daikaisan

みなさんの回答は対数関数との関係で書かれてますが、
質問されている方がまだ、学習してないかもしれません。
さらに、指数関数の拡張として対数関数を学習するのが高校での流れのため分かりにくいと思います。

ということで、

なぜ底は正でなければならないのか
指数で表された式を「関数」として考えようとしているところに理由があります。
とくに指数の部分を変数として考えるからです。

y = x＾3　では、xに負の数が入っても問題なし。
しかし、指数を変数とした　y = a^x　という関数では、aが負の数だと問題が生じます。
ます。

　例
　　y = (-2)^x

xは変数ですからいろいろな値を代入しますね。そのとき、整数を代入する時は問題はなし。
しかし指数関数では指数の拡張を行って、指数として整数以外の有理数や無理数まで
考えられるようになっています。たとえば1/2乗というのは、√と同じことですね。

例に出した関数のxの値が1/2の時、するとyの値は (-2)^(1/2) となり、これは √-2 を意味し、虚数
となってしまいます。実数の範囲ではルートの中がマイナスではダメです
他にもxの値によってはyの値が存在しない場合が出てきます。
この式の関数は、xの値として考えられない数があちこちに存在します。
これでは関数として考えるのは無理があり、「底は正の数だけとする」という制限がついています。

お礼

ありがとうございます。では、高校の範囲は超えますが、複素数の範囲ではグラフは書けるのでしょうか。時間があるときに、教えてください。

回答No.4

info22

y=(-2.3)^x
のグラフはかけますか？

変形すると
y=(2.3^x)*(-1)^x
となりますね。

xが実数のとき
(2.3^x)は実数です。
{(-1)^x}は
xが実数ならyは実数となりグラフが描けます。
ところがxの値によってyは実数だったり、虚数部のある複素数になったりします。
(-1)^0.1=(-1)^(1/10)=実数ではない
(-1)^0.2=(-1)^(2/10)=1^(1/10)
(-1)^0.3=(-1)^(3/10)=(-1)^(1/10)=実数ではない
(-1)^0.4=(-1)^(2/5)=1^(1/5)
(-1)^0.5=(-1)^(1/2)=±i=実数でない。
(-1)^0.6=(-1)^(3/5)=(-1)^(1/5)=-1
(-1)^0.7=(-1)^(7/10)=(-1)^(1/10)=実数でない。
(-1)^0.8=(-1)^(4/5)=1^(1/5)
(-1)^0.9=(-1)^(9/10)=(-1)^(1/10)=実数ではない。
(-1)^1=-1
といった具合ですから
xによってy=(2.3)^xの値が連続的な実数のグラフとしてプロットできませんね。実数xに対してyが連続的に存在しないで、飛び飛びのxに対してだけyの値が実数になります。つまりyはxの連続関数にならないということですね。
高校の範囲では、このような全ての実数xに対して底が負数の指数関数の値が存在せず、飛び飛びの実数xに対してだけしか、指数関数の実数値が存在しないため、指数関数の底は負ではいけないと決められたわけです。

お礼

ありがとうございます。では、高校の範囲は超えますが、複素平面上ではかけるのでしょうか。時間があれば再度教えてください。

回答No.3

fuuraibou0

指数関数　Y ＝ √X ＝ X^(１/２)　を対数関数で表すと、

Log ｘＹ=１/２　になります。ここで、両辺を２倍すると
２Log ｘＹ＝ Log ｘ(Ｙ^2)＝１ で、Ｙ^2 ＝ Ｘ ですが、

いま、Ｘ＝－３ にすると、ある数 Ｙ を ２乗して －３
になる実数がありますか？　よって、対数の底が 負 では
上の式が成り立たないから、常に Ｘ＞０ なのですよ。

回答No.2

zk43

例えば底が-2だと、(-2)^(1/2)なんかはもう実数ではなくなりますね。

お礼

ありがとうございます。では、高校の範囲は超えますが、複素数の範囲ではグラフは書けるのでしょうか。時間があるときに、教えてください。

回答No.1

koko_u_

>グラフはかけないのでしょうか。
良い疑問です。であれば、グラフを書いてみましょう。
うまく行きませんか？それとも、うまく書けましたか？

お礼

ありがとうございます。では、高校の範囲は超えますが、複素数の範囲ではグラフは書けるのでしょうか。時間があるときに、教えてください。