フーリエ級数
大学からの課題なのですが、数学はあまり得意出ない上、高校で勉強した内容よりもレベルが上の難易度のようで、
色々と頑張っては見たのですが現在の自分の力だけではどうにも解く事が出来ないので、よかったらお教えください。
関数f(x)はxの全ての実数値に対し定義されていて、2πを周期に持つとする。
すなわち、f(ｘ + 2π)=f(x),さらに,積分
∫-π＾π｜f(x)｜dxが存在するとする。このとき、関数ｆ(x)は
以下のように展開できる。
f(x)＝a0/2+Σ[n=1,∞](an cos nx + bn sin nx) (1)
ここで、係数an,bn次式で計算される。
an=1/π∫-π＾π ｆ(x)cos nx dx （n=0,1,2,....）, (2)
bn=1/π∫-π＾π ｆ(x)sin nx dx （n=1,2,....）, (3)
さて特に、ｆ(x)＝｛
-1 （-π≦ｘ＜0,π＝π）
+1 （0≦ｘ＜π）
｝ (4)
の場合を考える。このとき以下の問に答えよ。
【1】an=0(n=0,1,2,....)であることを示せ。
【2】bnが次式で与えられることを示せ。
bn＝{
0 （n=2,4,...）
4/nπ （n=1,3,5,...）
}
【3】 【1】式の無限級数の和を、n=5までの和で近似せよ。
すなわち、
f(x)= a0/2 + Σ[n=1,5](an cos nx + bn sin nx)=4/πΣ[n=1,3,5]sin nx/n (5)
