以下の重積分の解法を計算式を含めて教えて下さい

質問

（１）∫∫（Ｄ）ｘｙ＾２ｄｘｄｙ Ｄ＝ ０＜＝ｘ＜＝１、０＜＝ｙ＜＝√１－ｘ＾２
（２）∫∫（Ｄ）（ｘ＋２ｙ）ｄｘｄｙ Ｄ＝ ０＜＝ｘ＜＝π/2、sinx＜＝ｙ＜＝2sinx
(3) ∫∫（Ｄ） 2xyｄｘｄｙ Dは（０，０）（２，０）（０，１）を頂点とする三角形の内部

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
I=∫[0,1] x {∫[0,√(1-x^2)] y^2 dy} dx
=∫[0,1] x (1/3)(1-x^2)^(3/2) dx
=(1/3)∫[0,1] x(1-x^2)^(3/2) dx
=(1/3)∫[0,1] (-1/2)(-x^2)'*(1-x^2)^(3/2) dx
=-(1/6)∫[0,1] (1-x^2)'*(1-x^2)^(3/2) dx
=-(1/6)[(2/5)(1-x^2)^(5/2)]_(x=0,1)
=1/15

(2)
I=∫[0,π/2] {∫[sin(x),2sin(x)] (x+2y)dy}dx
=∫[0,π/2] {x*sin(x)+3sin^2(x)}dx
= …　（普通の積分なので途中計算はやってみて下さい）
=1+(3/4)π

(3)
I=∫[0,2] x{∫[0,1-(x/2)] 2y dy}dx
=∫[0,2] x{1-(x/2)}^2 dx
= …　（普通の積分なので途中計算はやってみて下さい）
=1/3

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