パラメータ変換について

質問

「一般に、曲線が
　　γ(t)=(x(t),y(t))　(a≦t≦b)
　とパラメータを用いて表示されているとする。区間[c,b]から[a,b]の上への単調増加関数 t=t(u) (t(c)=a,t(d)=b)に対して
　　γ~(u)=γ(t(u)) (c≦u≦d)
　は、図形としてはγ(t)が表すものと同じ曲線を与える」
…と教科書に書いてあったのですが、なぜ同じ曲線になるのかが分かりません。

分かる方いましたら、教えて下さい。

回答No.3

stomachman

単調増加関数でなくたって構わない。t(u)は区間[c,d]から[a,b]の上への関数であれば十分。「上への」ってのはつまり、t(u)が[c,d]から[a,b]への全射であるということで、さらに言い換えれば「どのs∈[a,b]についても、t(u)=sとなるようなu∈[c,d]が少なくともひとつは存在する」ということ。その場合、uが[c,d]を走る間に、[a,b]のどの要素も一度はt(u)と等しくなる。

　一方、s∈[a,b]をひとつ決めたら、
γ(s)=(x(s),y(s))
を満たすx,yがひと組決まって、グラフ用紙に点が打てる。これをここでは「sをプロットする」と言うことにします。で、[a,b]の全ての要素sをプロットしたときにグラフ用紙に現れるのが問題の図形（つまりグラフ用紙に打った無限個の点から成る集合）である。この図形をCと呼ぶことにしましょう。
　当たり前の事だけれども、「[a,b]の全ての要素sを」プロットしさえすれば（どんな順番で要素sを選ぼうとも）同じ図形Cが描かれる。

　さて、「sをs=t(u)(u∈[c,d])で決めて、そのsをプロットする」というやりかたで描かれる図形はどうなるかがご質問のエッセンスです。その場合、t(u)が全射でありさえすれば、uが[c,d]を走る間に、[a,b]のどの要素も一度はsとして選ばれて、そのsがプロットされる。だから、同じ図形Cが描かれることになる。

回答No.2

Tacosan

うん, どう考えても同じだね.
一方の曲線上の点と他方の曲線上の点が 1対1 に対応することを示せばいいんじゃない?

回答No.1

spring135

uまたはtを消去してy=g(x)の形にすれば同じことです。

お礼

回答ありがとうございます。
すいません、もう少し詳しく書いていただけるとありがたいです。