エネルギーの保存、運動量の保存について。

質問

こんにちわ。自由研究で、くっついてならんだビー玉に、ビー玉１個をぶつけるとどうなるのか？という実験をやっているのですが、結果、ぶつけた個数と同じ個数のビー玉が飛び出す。と言う風になりました。じゃあなんでだろう？と思って参考文献をみると「エネルギーの保存」と「運動量の保存」のためこうなる。とかいてあったのですが、
疑問１：エネルギーの保存って何？
疑問２：運動量の保存って何？
疑問３：上の２つがどう関係してビー玉はぶつけた数だけ動くのか。
エネルギーや運動量の保存はＹＡＨＯＯで検索して探したのですが、説明が難しすぎてわかりません。
中学生にもわかるように説明して欲しいです。参考ｕｒｌでもかまいません。お願いします。

回答No.3

directhiro · ベストアンサー

こんにちは。
夏休みの宿題がんばっているみたいですね。
なるべくわかりやすく書いてみますね。
詳しくは、高校の物理の授業で習うことになるかも知れないけど、
物理の触りだけ書きますね。

疑問１について
エネルギー保存の法則っていうのは、

「位置エネルギー」と「運動エネルギー」の和が「いつの時点でも」一定、
ということなんですね。

「位置エネルギー」は、「物の重さ」と「高さ」に比例していて、
速度とかには関係ないんですね。
つまり、２階から地上に物を落とす場合と、５階から地上に同じ重さの物を落とす場合とでは、
当然５階から物を落とした方が、地上で受ける力が大きいわけだから、
「潜在的に」大きいエネルギーを持っていることをあらわしているわけですね。
（空気の摩擦とかは物が外から力を受けるわけで、
関係ないものと考えたほうがわかりやすいと思います。）

「運動エネルギー」は、「物の重さ」と「速度の２乗」に比例しているんですね。
これは、実際に動いている物のエネルギーのことを示していて、
高さには関係ないんですね。
つまり、実際に動いている物が、どれだけ「実際の」力を持っているかを
あらわしているわけですね。速度が速ければ速いほど大きいわけです。

これらの「位置エネルギー」と「運動エネルギー」を加えたときに
いつでも同じになるわけです。
つまり、５階から物を落とす場合に速度０だったものが、下に行くほど速度が速くなって、
地上にぶつかる直前では最大になるわけだけど、
物が５階にあるときでも２階にあるときでも
地上にぶつかる直前でもエネルギーは同じ（エネルギーは保存）になるということです。

これは、ビー球がぶつかるような場合でも同じですが、高さが一定の場合には、
重力の影響を受けないので、いつでも位置エネルギーは同じになって、
考えればいいのは、「運動エネルギー」だけになって「ｍ×ｖ＾２／２」となるわけです。
ｍは重さ、ｖは速度。

疑問２について
運動量保存の法則っていうのは、

「物の重さ」と「その物の速度」をかけたときの値（運動量）の和は
「いつの時点でも」一定になる

ということをあらわしているんだけど、主に物同士がぶつかったときに考えるんですね。
イメージとしては、ビリヤードとかがわかりやすいと思います。
ビリヤードの球はほとんど同じ重さのものでできてますが、
球同士が真正面からぶつかったときに、
動いていた球が止まって、止まっていた球がぶつかってきた球と同じ速度で動き出す
ということを思い浮かべればわかりやすいと思います。
（手玉が戻ったり、進行方向に進んだりする場合もありますが、
これは跳ね返り係数（衝突係数）とか摩擦とか手玉の回転とかその他の要因もからんでるので、
あまり考えないほうがいいと思います。考えるとややこしくなるので、
考え方を学びたかったら高校で学んでくださいね）
これが、運動量保存の法則というわけです。

疑問３について
くっついてならんだビー球のことですが、
回答No.1の方が数式で答えてらっしゃいますので、
そちらを参照してください（ちょっとむづかしいかも）。
運動量保存の法則(2)式と衝突係数(3)式の計算だけでもOKのような気が、、。

たとえば、４個のビー球が並んでいたとしてどちらかから１個のビー球を当てると
１個のビー球が飛び出しましたね。
つまり、１個のビー球をぶつければ、１個のビー球の重さ分だけの運動量，エネルギーが
間にある４個のビー球に対して順に移っていくわけですね。
そして一番端にあるビー球だけが飛び出すわけです。
２個であれば、２個分の重さの運動量，エネルギーがあるわけだから、
２個飛び出すわけですね。

さて、自由研究ということなので、もし興味があれば、
自分でテーマを考えていろいろ試してみてください。
ヒント：
１．ビー球をくっつけてならべだ状態で「振り子」を作ってみて、
ある高さから端っこの１個のビー球をぶつけると
反対側のビー球はどの高さまであがるか？

２．「重さの違う」ビー球を並べて同じように実験を行なったらどうなるか？

夏休みの宿題がんばってくださいね。

お礼

ありがとうございます！すごくわかりやすかったです。ビー玉の謎もこれで解決できました。これをふまえて早速実験をしてみたいと思います。
ヒント２の方もおもしろそうなのでやってみますね！
夏休み中に無事全ての宿題が終わるといいんですがね・・・（汗）とりあえずやれるだけやります。本当にありがとうございます。

回答No.4

nubou

このときこの二つの系のエネルギー保存則は
ｍ・ｖ１＾２／２＋ｍ・ｖ２＾２／２＝ｍ・ｖ１’＾２／２＋ｍ・ｖ２’＾２／２
すなわち
（１）ｖ１＾２＋ｖ２＾２＝ｖ１’＾２＋ｖ２’＾２
は間違っていました（一般にはこうなりません）

このケースではエネルギー保存則は運動量保存則に一致します

以下は中学では難しいので参考程度にしていてください

質量ｍ１で位置ベクトルｘ１（ｔ）の質点１と質量ｍ２で位置ベクトルｘ２（ｔ）の質点２が互いに力を及ぼしながら運動している系について考える
質点１が質点２に加えている力ベクトルをｆ１２（ｔ）とし
質点２が質点１に加えている力ベクトルをｆ２１（ｔ）とする
ニュートンの作用反作用則により
（１）
ｆ１２（ｔ）＋ｆ２１（ｔ）＝０
ニュートンの運動則により
（２）
ｍ１・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｘ１（ｔ）＝ｆ２１（ｔ）
ｍ２・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｘ２（ｔ）＝ｆ１２（ｔ）

（２）を辺々加えて（１）を使うと
（３）
（ｄ／ｄｔ）＾２・（ｍ１・ｘ１（ｔ）＋ｍ２・ｘ２（ｔ））＝０
すなわち
ｍ１・（ｄ／ｄｔ）・ｘ１（ｔ）＋ｍ２・（ｄ／ｄｔ）・ｘ２（ｔ）＝一定
これがこの系の運動量保存則である

この系の重心は
ｘ（ｔ）＝（ｍ１・ｘ１（ｔ）＋ｍ２・ｘ２（ｔ））／（ｍ１＋ｍ２）
このとき（３）は
（ｍ１＋ｍ２）・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｘ（ｔ）＝０
（ｄ／ｄｔ）・ｘ（ｔ）をこの両辺に掛けて整理すると
（ｄ／ｄｔ）・（（ｍ１＋ｍ２）・（（ｄ／ｄｔ）・ｘ（ｔ））＾２／２）＝０
すなわち
（ｍ１＋ｍ２）・（（ｄ／ｄｔ）・ｘ（ｔ））＾２／２＝一定
これが運動エネルギー保存則である

しかし
運動エネルギー保存則（重心の運動エネルギーは一定である）は
今の場合
運動量保存則から導くことができるので今の問題には必要ない

すなわち運動量保存則と衝突係数から系の運動は求まる
陥りやすい間違いだがエネルギー保存則は関与しないのです

課題として衝突係数が１ではなく０のときの運動を考えてください
つまり衝突後球１と球２がくっついて動くとき
この場合は思考実験はできるのですがのりをビー玉に付けると床にくっついてしまいそういう状況を作り出すことは難しいですね

お礼

下の分もまとめてお礼申し上げます。数式は私には理解できないんですが（数学だけはすごく成績がおもわしくなくて汗）時間をさいてくださってありがとうございます。

回答No.2

yuu-kisaki

数式使うと難しくなるので・・・

エネルギー保存測っていうのは、

位置エネルギー＋運動エネルギー＝一定　という法則です。

位置エネルギーは高さが高くなると大きくなります。
運動エネルギーは速さが早くなると大きくなります。
それとどちらのエネルギーも物の重さによっても大きくなります。

例えば、重いものを高いところに運んだり、速く動かそうとするといつぱい頑張らないといけませんよね。
その作業に必要なエネルギーと思ってください。

それで、エネルギー保存則というのは、

滑り台の上から滑り降りる場合、
階段を上っているときは、人が作業して上っています。これはエネルギー保存則とは関係なく、「仕事」をするといいます。

それで、上まで上りました。ここでは「仕事」をすることで高いところまで来たので位置エネルギーが大きくなったと言うことです。

こっから滑り降ります。すると下に近づくにつれて速くなります。これは位置エネルギーが少なくなり（低い位置になる）、そのぶん運動エネルギーが大きく（速度が上がる）なります。

それぞれのエネルギーを考えたとき、その全体量が変らないというのがエネルギー保存則です。

ただし、他の影響を受けていない（もしくはほとんど影響されない）という条件が必要です。

ブランコのほうが分かりやすいかもしれませんね。
振り子運動で、一番下にいるときは速くて、上に来ると止まりますよね。
上から落ちることで速度が速くなり、一番下での勢い（速度）があるから高いところまで行きます。
このときの位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存されていると言うことです。

厳密には空気抵抗や、摩擦熱などによりエネルギーは減っていますけどね。
このあたりは難しくなるのでやめましょう。

運動量の保存は、重さと速さを掛け合わせたものが運動量で、それがいくつかのものがぶつかったりしても全体では変らないということです。

体重の軽い人が、重い人を体当たりで飛ばそうとすると全力疾走でぶつからないとダメですよね。これは体重が軽い分を、速さで補おうとしているからです。逆に体重の重い人は軽くぶつかっただけで、相手を飛ばせますよね。

とこんな感じです。

んで、本題のビー球での話ですが、

ぶつけたビー球はそれぞれほとんど同じ速さで動いていると思います。
つまりビー玉の個数と速さによって、運動量と運動エネルギーを持ちます。
※今回はビー球が同じ高さにあると思うので位置エネルギーは考えません。

それらのビー球が止まっているビー玉にぶつかると、ぶつかったビー玉に運動エネルギーと運動量を渡します。

運動エネルギーと運動量をもらったビー玉はとなりのビー玉にぶつかります。
実際にはくっついているのでぶつかるというイメージはわきませんが、エネルギーと運動量を渡します。

それが次々に起こって、反対側のビー球が飛び出します。

このときエネルギー保存則、運動量保存則から同じ重さの分のビー球が同じ速さで飛び出そうとします。

それで、ぶつけた数だけ飛び出して行きます。

ビー玉の重さがほとんど同じなのでこういったことが起こります。
ぶつけるビー球がすごく軽くて、ぶつけられたビー球がすごく重いとこうはなりませんよ。意味が分からなかったら考えなくてもいいですよ。

なんとなくでも伝わればうれしいです。

でもこれって高校生の時に習った気がするので、完全に理解するのは難しいかもしれませんね。でも先に勉強することは良いことなので頑張ってください。
ではでは。

お礼

ありがとうございます。
これって高校で習うものなんですね～。しりませんでした。ちょっと無謀だったかな（汗）でもyuu-kisakiさんの説明わかりやすいです。これも参考にしつつ自由研究頑張ります。

回答No.1

nubou

球１中心が球２中心に向かって左から右に進んでいて球１が球２に衝突し
球１：質量ｍ、衝突前左向き速さｖ１、衝突後左向き速さｖ１’
球２：質量ｍ、衝突前左向き速さｖ２、衝突後左向き速さｖ２’
とする
このときこの二つの系のエネルギー保存則は
ｍ・ｖ１＾２／２＋ｍ・ｖ２＾２／２＝ｍ・ｖ１’＾２／２＋ｍ・ｖ２’＾２／２
すなわち
（１）ｖ１＾２＋ｖ２＾２＝ｖ１’＾２＋ｖ２’＾２
このときこの二つの系の運動量保存則は
ｍ・ｖ１＋ｍ・ｖ２＝ｍ・ｖ１’＋ｍ・ｖ２’
すなわち
（２）ｖ１＋ｖ２＝ｖ１’＋ｖ２’
もう一つ重要な要素がある
衝突係数である
これが１とすると
ｖ１－ｖ２＝－１・（ｖ１’－ｖ２’）
すなわち
（３）ｖ１＋ｖ１’＝ｖ２＋ｖ２’

とくにｖ１＝ｖ，ｖ２＝０とすると
（１）ｖ＾２＝ｖ１’＾２＋ｖ２’＾２
（２）ｖ＝ｖ１’＋ｖ２’
（３）ｖ＋ｖ１’＝ｖ２’
これを解くと
ｖ１’＝０かつｖ２’＝ｖとなる
すなわち
球１が左から速さｖで静止している球２にぶつかると衝突後
球１は静止し球２は速さｖで右に動き始める

さて球がいっぱいあるとどうなるだろう
左から右に団子状に並んだ球に左から一つ球が速さｖでぶつからと
ぶつかった球は止まりぶつけられた球は速さｖで右に動き始めるがすぐに
次の球にぶつかりその球が止まりその球にぶつけられた球が速さｖで右に動き始める
この現象は一番右の球に行くまで連鎖する
従って最終的には一番左の球だけが右に速さｖで動くことになる

「球１が左から速さｖで静止している球２にぶつかると衝突後球１は静止し球２は速さｖで右に動き始める」
を使えば
団子状に並んで同じ速度ｖで右に進んでいる球団が団子状に並んで静止している球団にぶつかった後の状況が分かるはずです
答えを補足に回答してください

なおカットアンドペーストで書きましたので書き間違いがあります
書き間違いは適当に訂正してください
例えば左と右が怪しい