円の中心座標ってもとめられますか？

質問

すみません私の頭では無理でしたので、どなたか分かる方いらっしゃいましたら教えてください。
座標上のどこかに円があります。その円周上に等間隔に三点の座標a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)があり、その３つの座標だけが分かるとき、その円の中心座標って求めることはできますか？
座標は円周上に左回りでa⇒b⇒cとあるとします。
出来るだけやさしく解説していただければと思います。
よろしくおねがいします。
※この書き方で質問したいことってわかるでしょうか？

回答No.5

hinebot · ベストアンサー

高校数学を使っていいなら、中心の座標が(a,b),半径がrである円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
です。後の説明のために展開しておきますね。
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2
これに３つの点の座標を代入します。
x1^2-2ax1+a^2+y1^2-2by1+b^2 =r^2 …(1)
x2^2-2ax2+a^2+y2^2-2by2+b^2 =r^2 …(2)
x3^2-2ax3+a^2+y3^2-2by3+b^2 =r^2 …(3)

未知数はa,b,rの３つで式が３つなので、この連立方程式は解けます。
それでa,bを求めれば、それが中心の座標です。

実際に解く場合は、この３つの式を引き算して新しい式をつくります。（rとa,bの2乗の項を消すことができます。
(1)-(2) 2(x2-x1)a + 2(y2-y1)b = (x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2) …(4)
(1)-(3) 2(x3-x1)a + 2(y3-y1)b = (x3^2-x1^2)+(y3^2-y1^2) …(5)
※別に(2)-(3)　でも構いません。
(4),(5)は連立一次方程式なので、解くのは難しくありません。

お礼

丁寧に解説ありがとうございました。
なんか解けそうな気がしてきました。

回答No.4

wolv

No3の回答の１，２のどちらの場合でも、

（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），（ｘ３，ｙ３）が通る三つの点
（ｘ、ｙ）が求める円の中心の座標、とすると、

　　　　　　ｘ１－ｘ２　　　　　ｘ１＋ｘ２　　　ｙ１＋ｙ２
ｙ　＝　－　―――――（ｘ　－　―――――）＋　―――――
　　　　　　ｙ１－ｙ２　　　　　　　２　　　　　　　２

　　　　　　ｘ１－ｘ３　　　　　ｘ１＋ｘ３　　　ｙ１＋ｙ３
ｙ　＝　－　―――――（ｘ　－　―――――）＋　―――――
　　　　　　ｙ１－ｙ３　　　　　　　２　　　　　　　２

のような２つの式ができますね。ここから先の計算は式がぐちゃぐちゃになるので、省略させていただきます。ごめんなさい。
続きはどなたかお願いします。（＾＾；

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

Auravictrix

解法はいくつもあると思いますが、とりあえず２つ。

1. 中心Oの座標をO(x0,y0)として、O-a, O-b, O-c の距離が等しいとする連立方程式を解く。
　任意の２点の距離はピタゴラスの定理(a^2+b^2=c^2ってやつ）で求めてください。

2. a-b と b-c （他の組み合わせでもよし）の垂直二等分線を示す式 y=sx+t, y=ux+v をもとめ、その交点の座標を計算する(連立二元一次方程式です)

詳しい式の展開はトライしてみてください。

お礼

どういう風に考えていけばよいかつかめてきました。
ありがとうございました。

回答No.2

uhyohyohyo

できますよ。

3点が決定していれば円は一義的に決定しますので。従って、等間隔である必要もなく、唯3点のうちある2点が同一点でなければオッケーです(つまり、3点が別々)。

3点から任意の2点の組み合わせ(とはいっても3組だけ)2組を選んで、それらが作る線分の垂直二等分線の交差する点が中心座標です。中学校の数学ですね

お礼

a-b、b-cの中心から垂直に線を引き、その交点
を求めるっていうことですね。
なんか弧にこだわちゃってそういう発想が出来
ませんでした。
ありがとうございました.

回答No.1

ADEMU

三角形ａｂｃは正三角形になります。
円の中心は三角形の重心に等しいわけですから
（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）／３，（ｙ１＋ｙ２＋ｙ３）／３が
中心座標ではないでしょうか。

補足

説明が悪かったようです。
座標が分かっている円周上の点a,b,cは、
aとbの間 = bとcの間
です。
cとaの間は不定です。
円の内接に正三角形ができるというわけではないんです。
すみません