関数の点対称移動

質問

y=f(x)を点(p,q)に関して対象移動した場合、

2q-y=f(2p-x)である。

点(X,Y)が対称移動したグラフ上にある⇔点(2q-Y,2p-X)が元のグラフ上にある

と言うような優れた(?)解説が載っていましたが理解できません。極端な話中学生でも理解できるように教えてください。

宜しくお願いします

回答No.4

yhposolihp · ベストアンサー

>>2q-y=f(2p-x)　>>元のグラフ
としてありますが、
本来の式、
2q-Ｙ＝f(2p-Ｘ)　で止めておけば、混乱しないはずです。

　函数表現は時として、思い違いをもたらす様です。
　軌跡とか移動とか変換などでは、

・　・
約束として、(x,y)に書き直すのであって、(Ｘ,Ｙ)のままならば思い違いは起きないので、
　最後の式を、
　Ｆ（Ｘ、Ｙ）＝０　　Ｙ＝Ｆ（Ｘ）
　b＝Ｆ（a）　　　　　□＝Ｆ（○）
　□＝sin○+log○+(○^2)等が全て許されると良いと思います。

2q-Ｙ＝f(2p-Ｘ)は、単に点対称を函数表現しただけであって、極々当然の式であり、

・　・　・　・　・
元のグラフ上　と言う思考は出て来ないのです。

>>優れた。と言う過大な評価となりません。

具体的に、例を書くと
y=x^2を点(3,5)関して対称移動（点対称）場合を考えると、
(x+X)/2=3
(y+Y)/2=5
x=(2*3-X)
y=(2*5-Y)
2*5-Y=(2*3-X)^2

Y=-( (X-2*3)^2 )+2*5　

となるだけであって、重ねて書きますが、どこからも、
・　・　・　・　・
元のグラフ上　と言う思考は・・・。

補足

ありがとうございました。大変な勘違いをしていました。

回答No.3

10ken16

y＝f(x)を原点について対称移動すると、
x,yが＋、－逆になりますから
-y=f(-x)
です。

グラフの平行移動は、
ｘ方向にｔ、ｙ方向にｓ平行移動すると
y-s=f(x-t)
です。

これらは公式として憶えておきましょう。
証明自体は簡単です。例えば平行移動なら、
y=f(x)上の点を（X,Y)とおき、
平行移動後の点を（ｘ，ｙ）とすると、
ｘ＝Ｘ＋ｓ、Ｙ＝ｙ＋ｔ
Ｘ，ＹはＹ＝ｆ（Ｘ）を満たすから…。

手順としては、
１．全体を、点（ｐｑ）が原点と重なるよう平行移動
２．関数を原点について対称移動
３。全体をｘ方向にｐ、ｙ方向にｑ平行移動

これをまとめた結果です。

あるいは、単純に、f(x)上の点を(X,Y)
移動後の点を(x,y)とすると、
（X,Y)、(x,y)の中点が(p,q)より、
(X+x)/2=p、(Y+y)/2=q
これから、X=2p-x…
と言う風に考えた方が楽かも知れません。

回答No.2

info22

元のグラフ上の点の座標(x,y)
点(p,q)
点対称移動した後のグラフ上の点(X,Y)
とすれば、両方の点(x,y)と(X,Y)
点対称移動だから
両方の点(x,y)と点(X,Y)の
中点が(p,q)となっている関係にあるということですね。
つまり
(x+X)/2=p
(y+Y)/2=q
という関係がグラフ上の全ての点について成り立っています。
(x,y)=(2p-X,2q-Y)はもとのグラフ上の点(x,y)ですから
y=f(x),つまり,2q-Y=f(2p-X)を満たしているわけですね。
新しいグラフの式は
2q-Y=f(2p-X)
を変形してY=g(X)
という形に整理すれば、
Y=g(X)が点対称移動後のグラフの式になるということです。
お分かりになりましたでしょうか？

よく読んで、図を描いて、良く考えてみて下さい。
きっと分かると思います。

回答No.1

Willyt

移動前の座標を（ｘ、ｙ）、移動後の座標を（ｘ’、ｙ’）とします。すると、点対称の条件から　（ｘ＋ｘ’）/２＝ｐ，（ｙ＋ｙ’）/２＝ｑ　となりますよね。するとｘ’＝２ｐ－ｘ　ｙ’＝２ｑ－ｙ　となりますから、ｙ’＝ｆ（ｘ’）にこれを代入すればいいんです。