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要素を並べ替えたベクトルの内積が，正規分布に従う原因について
以下の試行を考えます。 (1)長さNのベクトルX, Yを適当に作成する。 (2)Yの要素をランダムに並べ替え，そのベクトルをY'とする。 (3)内積(X, Y')を計算する。 Nが約20以上の状況で，この試行を1000～10000回程度繰り返すと，得られる内積は，X, Yの要素の分布に関わらず，ほぼ正規分布に従う結果となりました。 この現象の原因を解析的に（式で）理解したいと考えていますが，糸口がつかめない状況です。 何かご指摘を頂ければ幸いです。
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えーと、まず具体的にやっていることがよくわかってないんですが、 (2)の並び替えるっていう操作は本質的に意味のあることですか？ つまり、単純に、長さＮのベクトルＸ，Ｙをランダムに作成してその内積を取る、っていうのと、(1)(2)(3)は異なるものなんですか？ 暗黙のうちに、Ｘ，Ｙの各要素は独立同分布（i.i.d.）だと思ってたんですがそうではない？ i.i.d.だとすれば、＜式による考察＞に書いてある式であってそうです。 数値実験 ＞Aは平均がmean(x)*mean(y), 分散が(var(x)*var(y))/N この数値実験って具体的にどんな操作をしてますか？ 例えば、Ｘ，Ｙの平均が１で、Ｘの分散が０、Ｙの分散が１のとき、積ＸＹの分散は１になると思うのですがこの式だとならないですね。ということは、上で思っていた前提とは異なる、なんかの操作をしたってことなんでしょうけど。
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- rabbit_cat
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(1)(2)(3)の処理をすると、 最終的な内積は、 X×Y の分布に従う確率変数を２０個取り出して、平均をとって、それを２０倍したものになってます。 というわけで、まあ、２０ていうのはかなり大きい数なんで、中心極限定理より、だいたい正規分布に従うはずです。 もちろん、Ｎを２０よりも大きくすれば、もっと正規分布に近づくはずです。
補足
再び回答を頂きありがとうございます。大変参考になります！ X×Y の分布に従う確率変数をXYとすると，内積をNで割ったもの（=Aとします）は，XYの標本平均とみなせるということですね。 実は，先に頂いた回答を頂いたあと，上記のような意味に解釈して，Aの計算式の導出と，Aの数値実験による計算をしてみました。その結果，両者の結果が一致しなかったので，下記に報告させていただきます。 ＜式による考察＞ AがXYの標本平均とみなせると仮定すれば，Nが十分大きい場合，中心極限定理によって，Aは平均が母平均に等しく，分散が母分散/nの正規分布に従うことになると思います。母集団はランダムに選んだX,Yの要素x,yの積の集合で，N^2個の要素からなります。これをx,yの統計量で表すと，平均がmean(x)*mean(y), 分散が(var(x)*var(y)+var(x)*mean(y)^2+var(y)*mean(x)^2)/Nとなりました。ここで，mean(), var()は，ベクトルの要素の平均および標本分散を表します． ＜数値実験＞ 一方，ランダムなX,Yを用いた数値実験をすると，Aは平均がmean(x)*mean(y), 分散が(var(x)*var(y))/Nの正規分布に従うという結果になりました。平均は上記の式による導出と一致していますが，分散は一致しませんでした。 以上から，AがXYの標本平均とみなせるという仮定が，もしかしたら成り立たないのではないかとも考えております。AがXYの標本平均とみなせないかもしれない理由としては，XYの母集団からのランダムな標本抽出と異なり， ○非復元抽出である。 ○Aの式の中に，X,Yの各要素は高々1回しか登場しない。 点が考えられると思います。 しかし，実際には正規分布になっているわけですから，中心極限定理は使えると思いたいのですが…、というところで混乱しております。 長くなってしまい恐縮ですが，もしお時間があれば，コメントをいただけると大変嬉しく思います。
- rabbit_cat
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補足
ご回答をいただきありがとうございます。 中心極限定理について，内容が難しく，まだよく理解できておりません。 母集団からランダムに抽出した標本の平均が，正規分布に従うという具体例はわかったのですが，今回の場合は，どのようにこの定理を適用すればよいのでしょうか？
補足
早速ご回答をいただきありがとうございます。曖昧な部分などがあり，申し訳ありません。 大変恐縮なのですが，コメントを頂いてよく考えてみると，最初の質問文の記述に誤りがありました。仮に(1)～(3)を繰り返すとすれば，ご指摘の通り(2)は意味がない操作となると思います。 私が実際にしているのは，(1)は最初の1度だけ行い，その後(2)(3)を繰り返すという操作です。すなわち，ベクトルX,Yを作成した後，要素を何度もランダムに並べ替えながら内積を計算し，その分布を調べています。 (1)では，各要素が独立同分布に従うようにベクトルX,Yをそれぞれ作成するので，(2)で要素をランダムに並べ替えたベクトルも，やはり独立同分布に従っていると考えられると思います。 > ＞Aは平均がmean(x)*mean(y), 分散が(var(x)*var(y))/N > この数値実験って具体的にどんな操作をしてますか？ > 例えば、Ｘ，Ｙの平均が１で、Ｘの分散が０、Ｙの分散が１のとき、 > 積ＸＹの分散は１になると思うのですがこの式だとならないですね。 数値実験でも，各要素が独立同分布に従うようなベクトルX,Yを1度だけ作成した後，「Yをランダムに並べ替え，X,Yの内積を計算する」操作を繰り返しています。 数値実験上でも，X,Yの要素の積の分散は1になっています。しかしX,Yの内積は，Yの平均と等しくなり，Yをどのように並べ替えても一定なので，上式から計算されるように分散が0となります。 ところで，(1)～(3)全体を繰り返すように，すなわち内積を計算するたびにX,Yを発生しなおすように数値実験内容を変更したところ，計算された平均，分散が＜式による考察＞に書いた式にほぼ一致しました。どうして(1)を繰り返さなければならないのか，考えてみます（現実の目的は，(1)を繰り返さない場合に，内積が正規分布に従うことを示し，その平均，分散を求めることです）。 頂いたご指摘のおかげで，重要な手がかりが得られた気がします。ありがとうございます！