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空間図形,相似と計量

【問】各辺の長さが2の正四面体ABCDの辺AD上に点Pがあり,辺BC上に点Qがある。 AP=t,BQ=2t(0≦t≦1)であるとき… (1)PBの長さをtの式で表せ。 (2)∠PBC=Θとおくとき,cosΘをtの式で表せ。 (3)PQの長さの最小値を求めよ。 答え… (1)PB=√t^2-2t+4 (2)cosΘ=1/√t^2-2t+4 (3)最小値 √55/5 上の問題で,図は書くことができるのですが 問題の導き方がわからないので 教えて下さい。お願いします。

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  • debut
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回答No.5

>(t-3/5)+11/5になりますか?  はい。正確には 5(t-3/5)^2+11/5 ですね。  それで、t=3/5のとき最小値11/5ですが、これには  √がついていたので、分母を有理化すれば答えの  ようになります。

aroma05
質問者

お礼

何回も教えて下さってありがとうございます。 やっとこの問題を解くことができました。 本当に助かりました! ありがとうございました。

その他の回答 (4)

  • debut
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回答No.4

No2です。 PQ^2=BP^2+BQ^2-2*BP*BQ*cosθに BP=√(t^2-2t+4)、BQ=2t、cosθ=1/√(t^2-2t+4) を代入すると、 PQ^2=(t^2-2t+4)+4t^2-2*√(t^2-2t+4)*2t*{1/√(t^2-2t+4)}    =t^2-2t+4+4t^2-4t    =5t^2-6t+4 よって、PQ=√(5t^2-6t+4)です。 あとは、5t^2-6t+4を2次関数の頂点を求める変形で 5(t^2-(6/5)t)+4=5(t-3/5)^2-9/5+4=・・・ とやっていけば最小値が求められると思います。

aroma05
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 何回も申し訳ないのですが… 5t^2-6t+4を平方完成するということですか?? もしそうなら平方完成すると(t-3/5)+11/5になりますか? よろしくお願い致します。

回答No.3

(3)の補足説明で… PQ^2=PB^2+BQ^2-2×PB×BQ×cosθ    =(√t^2-2t+4)^2+(2t)^2-2×{(√t^2-2t+4)分の1}×2t×(√t^2-2t+4)    =(t^2-2t+4)+4t^2-(t^2-2t+4)分の{4t(√t^2-2t+4)}    =5t^2-2t+4-4t    =5t^2-6t+4

aroma05
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 (1)(2)で求めた答えをあてはめれば良かったんですね! ありがとうございました。

  • debut
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回答No.2

(1)(2)はNo1の方の余弦定理で。 (3)は、前問の結果を△BPQにおける余弦定理に適用して、    PQ^2=BP^2+BQ^2-2*BP*BQ*cosθより    PQは正だから、     PQ=√(5t^2-6t+4) で、√の中の最小値を    0≦t≦1で考えればいいのです。

aroma05
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 PQ=√(5t^2-6t+4)のところなのですが, √(5t^2-6t+4)はどこから出てきたのでしょうか? 教えてくださいっ。

回答No.1

(3)が解けなかったので、(1)と(2)にだけで。 (1) ☆余弦定理を使います☆ BP^2=t^2+2^2-2×t×2×cos∠ABP ※正四面体なので∠ABP=60゜※    =t^2+4-4t×cos60゜    =t^2+4-4t×2分の1    =t^2-2t+4 よって、 BP=√(t^2-2t+4) (2) ☆また余弦定理を使います☆ ABCDは四面体なので、線分ADから点B・点Cへの距離は等しい。よって、 PB=PC(△PBCは二等辺三角形である) また、 θ=∠PBC=∠PCB PC^2=PB^2+2^2-2×PB×2×cosθ    =PB^2+4-4PBcosθ この式↑を利用して、 4PBcosθ=PB^2+4-PC^2 cosθ=(PB^2+4-PC^2)÷4PB   =(PB^2+4-PB^2)÷4PB ※PB=PC※   =4÷4PB   =PB分の1   =√(t^2-2t+4)分の1

aroma05
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 丁寧な説明でわかりやすかったので解くことができました。 ありがとうございました。

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