内分点

質問

△ABCの内部の点をＰとしAPベクトル+2BPベクトル+3CPベクトル=ゼロベクトルが成り立つとする
また、2点A、Pを通る直線と辺BCとの交点をQとする
AP:PQ、BQ:QCを求めよ
APベクトル=1/3ABベクトル+1/2ACベクトルだから
AQベクトル=t(1/3ABベクトル+1/2ACベクトル)までは分かったのですが、ここからどうやればよいでしょうか？答えは
AP:PQ=5:1
BQ:QC=3:2です

回答No.1

ferien · ベストアンサー

△ABCの内部の点をＰとしAPベクトル+2BPベクトル+3CPベクトル=ゼロベクトルが成り立つとする
また、2点A、Pを通る直線と辺BCとの交点をQとする
AP:PQ、BQ:QCを求めよ
APベクトル=1/3ABベクトル+1/2ACベクトルだから
＞AQベクトル=t(1/3ABベクトル+1/2ACベクトル)までは分かったのですが、
「ベクトル」は省略します。
ＡＰ＋２ＢＰ＋３ＣＰ＝０より、
ＡＰ＋２（ＢＰ－ＡＰ）＋３（ＣＰ－ＡＰ）＋５ＡＰ＝０
６ＡＰ＝－２（ＢＰ－ＡＰ）－３（ＣＰ－ＡＰ）
＝－２（－ＰＢ＋ＰＡ）－３（－ＰＣ＋ＰＡ）
＝２（ＰＢ－ＰＡ）＋３（ＰＣ－ＰＡ）
＝２ＡＢ＋３ＡＣ
よって、ＡＰ＝(1/3)ＡＢ＋(1/2)ＡＣ
Ａ，Ｐ，Ｑは一直線上にあるから、
ＡＱ＝ｔＡＰより、
ＡＱ＝(1/3)ｔＡＢ＋(1/2)ｔＡＣ　……（１）
ＢＱ：ＱＣ＝ｓ：（１－ｓ）とすると、
ＡＱ＝（１－ｓ）ＡＢ＋ｓＡＣ　……（２）
（１）（２）を係数比較すると、
(1/3)ｔ＝１－ｓ，(1/2)ｔ＝ｓ
連立させて解くと、
ｔ＝６／５，ｓ＝３／５
ＡＱ＝（６／５）ＡＰより、ＡＱ：ＡＰ＝６：５
だから、ＡＰ：ＰＱ＝５：１
ＢＱ：ＱＣ＝（３／５）：（２／５）＝３：２

でどうでしょうか？

お礼

なるほど、回答ありがとうございました

回答No.2

yyssaa

AQベクトル=t(1/3ABベクトル+1/2ACベクトル)までは分かったのですが、
ここからどうやればよいでしょうか？

＞ここまで出来ればあとは簡単です。ベクトルを↑で表し、
ABはAB↑の大きさ(長さ)とします。
Qから辺ACに平行な線を引き、辺ABとの交点をRとすると、
AR=(t/3)AB、BR=AB-AR=(1-t/3)AB、BR/AB=BQ/BCより、
BQ=BC(BR/AB)=(1-t/3)BC
AQ↑=AB↑+BQ↑=AB↑+(1-t/3)(AC↑-AB↑)=(t/3)AB↑+(1-t/3)AC↑
AQ↑=t(1/3)AB↑+t(1/2)AC↑と比較して1-t/3=t(1/2)よりt=6/5
よってAQ↑=(6/5)AP↑となり、
AP:PQ=AP:(AQ-AP)=1:(6/5)-1=1:1/5=5:1を得る。
又、
BQ:QC=BQ:BC-BQ=(1-t/3)BC:{1-(1-t/3}BC=(1-t/3):(t/3)
=(1-2/5):(2/5)=(3/5):(2/5)=3:2を得る。

お礼

解説してくださってありがとうございました